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fra i 2n punti (S" A) due cadono in ( | RE | , A). La A tocca S " nel punto 

 ( [ i?.# [ , A) e la nostra curva S " è della classe 2n -+- m ; ?p = 2« -+- m. 



44. Nello strato (H s ) vi sono 3w (w-1) coniche aventi con la curva C^ un 

 contatto del sccond' ordine (*) (tripunto); sia H s una di queste 3n (n-1) coniche, 

 H il punto di osculazione, A la retta corrispondente ad H 9 , cioè la retta che unisce 

 i due punti (K s H s ) diversi da R\ R" : dei 2n punti (H 2 C£ ), tre coincidono in H 

 e perciò sulla A, nel punto ( | RH | , A), coincidono tre punti del luogo 5 * .In 

 altre parole, il punto (\RH\,h) è un flesso ed A è la relativa tangente stazio- 

 naria di S g "_ i _ m che ha dunque Sn (n-1) punti a" inflessione. 



Oss. Poiché della 8^\ si conoscono tre numeri pliiekeriani (1' ordine 2w, 

 la classe 2» -+- m e il numero dei flessi Sm) con le formole di Plìjcker se ne 

 possono determinare i numeri dei punti doppi, delle cuspidi, delle tangenti doppie 

 e il genere, ma possiamo osservare che in virtù del teorema di Riemann ( 2 ), il 

 genere di '■ S s "_ Hn è eguale a quello di C™, giacché le due curve C", 8 S " si cor- 

 rispondono punto a punto. 



45. Cerchiamo i punti di S s " situati sopra un raggio arbitrario A del 

 fascio R: a questo raggio corrisponde nello strato {H s ) la conica che si spezza 

 nelle due rette r, A e perciò le proiezioni degli n punti (C£ r), fatte da R sulla 

 A si confondono in R che è dunque un punto n-plo per la curva S^ • 



Per costruire gli altri n punti del luogo situati sulla A, osservo che, se p t1 p or ... 

 p n sono le polari respettive (rispetto a K s ) degli n punti comuni ad A e C™, i 

 punti cercati sono quelli ordinatamente separati armonicamente da R mediante 

 P kì p k (&— 1, 2, ....«) : possono dunque costruirsi linearmente quanti si vogliono 

 punti di S " quando (7™ è effettivamente tracciata. 



Oss. I. Che R sia, sopra la S 2 " , un punto n-plo, può vedersi anche nel 

 modo seguente : nella serie B, d' indice due, delle coniche conjugate a K s in ri- 



(') Il numero delle coniche che hanno con C n m contatto del second' ordine e sodisfano in oltre ad 



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 una condizione tripla è in generale espresso da „ A. n (w-1) dove A è il numero delle coniche 



determinate dalla condizione tripla, da un punto e da una tangente data: ciò per il teorema di 

 Cremona (C. li des se'ances de l'Ac. des Sciences 7 Novembre 1564. v. 2° p. 776); nel nostro caso 

 A è la caratteristica a (cioè la seconda delle caratteristiche Cremoniane) dello strato (TP) ossia 

 la caratteristica v del sistema semplicemente infinito (H 2 P), la quale fu trovata essere eguale a 

 2 (v. n. 9.) dunque ecc. ecc. La eccezione trovata da Halphen (C. R des séances de l'Ac. des 

 Sciences, a. 1S76. v. 2° p. 537 e 886) ai teoremi di Chasles e di Cremona, non ha luogo quando 

 uno dei due sistemi di condizioni si riduce a condizioni di contatto con curve date, come ap- 

 punto succede nel caso nostro. 



( s ) V. Salmon loc. cit. n. 364. — Se la C n m è, come noi supponiamo, una curva generale dcl- 



2» . -2« ... 3fi ( 71 1 ) 



l'ordine n, si trova che S ìn+m ossia S n ( n+ i) non ha cuspidi e possiede ^-~ — -punti doppi; 



deve dunque avere, oltre il punto n-plo R, altri m punti doppi. 



