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L' area del quadrilatero compreso fra le linee x x = c x , x % = c % , x y = e x -+- £ x , 

 a; = c g -+- £ 2 , ove le c i; c 2 sono costanti e le £ i; £ 2 sono pure costanti ma picco- 

 lissime, è da — ^/a • e x e 2 . 



Se # è una funzione qualsivoglia di x xì x % soggetta però alle condizioni di 

 continuità e di derivabilità, la quale, quando alle variabili x x , x 2 si sostituiscono 

 due altre indipendenti y x1 y 2 , si indica con (S), ed (S r ) ne è la derivata rapporto 

 ad y r , avremo identicamente 



(15) S^ rl = 2(^> rl 



e la forma del primo membro sarà covariante colla (13j. Covai'ianti colla (13) 

 sono pure le due forme bilineari 



(16) 25Al,Ì 2 ; 2ST s tJ 



:? 



ove T è una seconda funzione di x v x 2 finita, continua e derivabile. Invarianti 

 assoluti comuni alle (13) e (16) saranno 



(17) 2a rs 55 s , 2a rs S r T s 



rs rs 



li indicheremo con AjS, VST e li chiameremo rispettivamente parametro differen- 

 ziale del 1° Ordine di 8 e parametro differenziale misto di T Ordine di S e T. Il 

 loro significato geometrico è questo : Se S = cost. rappresenta un sistema di curve 

 sulla superficie, delle quali di regola una passa per un punto qualsiasi x x , x 2 e 

 dS è 1' aumento di S, quando dal punto x 1 . x 2 si passa al punto x l -+- dx ì . x 2 -+- àx z , 



situato alla distanza dn dal primo e sulla linea della superficie normale ad 



fìg 



S ■— cost. nel punto x x , x 2ì si ha ^- = \/A 1 S. Infatti presi sulla superficie tre 



punti fra loro vicinissimi di coordinate # 17 a? 2 ; x x -\-dx x , x 2 -i-dx 2 ] x x -+- dx x , x 2 -±-dx 2 , 

 il coseno dell'angolo, che i due elementi ds,ds che partono da x x , x 2 e vanno agli 

 altri due punti, fanno fra loro, è dato da 



, (X.dx+X 2 dx )(X l dx+X 2 dx 2 ) + ( Y x dx + Y 2 dx 2 )( Y x dx + Y 2 dx 2 ) + (Z x dx+Z4x 2 ){Z x dx+Z 2 dx 2 } 

 cos ^= — — ^ -- 



a^dXj&Xj^-*- à^JdXjdxg-*- dx 2 dx x ) ■+- a 22 dx 2 dx 2 

 ~ dsJs~ ~ '~ ' 



la condizione di ortogonalità è data quindi da 



( 1 8) a u dx x dx x -+- a 12 (d 1 xdx 2 -+- dx 2 d'x x ) -+- a S2 dx 2 dx s = 



