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 ed inoltre avremo 



(10) seri À = ± dx i dx z— dx 2 dx i ■/" . 



dsos v 



Se ora l'elemento ds appartiene alla linea S= cost. , si dovrà avere — L = g , 



dx 2 sy 



quindi le coordinate x Y -+- dx v x 2 -+- dx 2 dell'estremità di dn dovranno soddisfare 



1' equazione 



(a u S 2 — a^SJdx^ (a^S 2 —a 22 S 1 )dx 2 = 



Eliminando fra queste equazioni e le due 



dS = S l dx l ■+- Sj$x 2 , dn 2 = a u dx 2 -+- 2a l2 dx l 8x 2 ■+- a 22 dx 2 



dS 2 

 le ^a;. , $2;„ si avrà -s— • = = A.S. 

 * dn L 



Se gli elementi ds ì ds appartengono alle linee S = cost. , T^cost. si avrà 

 S.dx, -+- &' dx„ = , T.dx,-+- T$x„ — e conseguentemente cos /t — , = . 



112 2 112 2 o l/Ajò'.A^ 



Dalla (19) si deduce poi che il rapporto anarmonico dei quattro elementi dati 

 dalle due equazioni Hb rs dx r dx s ^= 0, 2c d% ,dx s = 0, e che partono da uno stesso 



punto, è dato da -^-= — ^—^ e quindi quelle quattro direzioni formeranno 



|/c2è./ s — 2j/è 



un gruppo armonico se l'invariante comune alle due forme è nullo. 



Se con a, /?, y si indicano i coseni degli angoli che la normale alla superficie 



nel punto x l , x 2 fa cogli assi delle X, Y, Z, dalle equazioni 



oJK 1 H-/?r i H-yZ 1 =0, aX 2 -i-PY 2 -hyZ 2 =0 

 avremo 



a|/~a = r^ 2 — Y& , ft/« = Z X X 2 — X X Z 2 , y\/~a = X, F 2 — F^ 



e ne dedurremo 



/ /? 2 -Hf=AX, a 2 -*-y 2 =A 1 Y, a 2 -*-0 2 =A.Z, 

 {20) < 



( -a^Vir, — oc7 = VXZ, — ^7 = VFZ. 



Pongasi ora, rappresentando con a rì /?. , y r le derivate di a, /?, 7 rapporto ad x rì 



K. ~ a r a s "+- PrP. -*" 7r7 S « 



