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 la forma differenziale ~2,b rs dx r dx aì covariante alla (13), rappresenta il quadrato 

 dell'elemento lineare della sfera di raggio uno, quando se ne facciano corrispon- 

 dere i punti a quelli della superficie, per modo che siano fra loro parallele ie 

 normali nei punti corrispondenti e sovra di essa si prendano per linee coordinate 

 quelle corrispondenti alle linee x x = cost. , « 2 =cost. della superficie. Le espres- 

 sioni - , 2a rs b rs sono invarianti assoluti e poiché rappresentano i rapporti dei coei- 

 Scienti della equazione 



a n — ab n , a n —ob lt =0, 



a 12 —ab 12ì a^—ob^ 



si riconosce facilmente che le radici di questa sono indipendenti dalla scelta delle 

 linee coordinate. Ora se per linee x yì x 2 si scelgono quelle di curvatura della su- 

 perficie, per le formule di Rodriguez, che sono una immediata conseguenza della 

 definizione stessa delle linee di curvatura, avendosi 



«12 = è 12= » Plì/ b n = |/°11 I P2ì/ Ò 22= lA» I 



vediamo che quelle radici non sono che i quadrati dei raggi di curvatura, per 



cui sarà -2& a rs =—[ — H - 9 ), ossia ciò che il Casokati ha recentemente prò- 



2 ' s 2\p 1 s pfp 



posto di chiamare la curvatura della superficie in quel punto, e — = — 2 — g, ossia 



a p 1 p 2 



il quadrato della curvatura gaussiana. 



Derivando covariantemente alla (13) la forma lineare X l dx ì -+- X 2 dx 2 abbiamo 

 2X £ .£ , ove è 



rs J~ rs,p q 1 



donde si vede che è X. s ^= X sr ; analoghe formule valgono per le Y e Z. Se per 



brevità si scrive X' s in luogo di - — - — , si ha 



dxdx ' 



V s 



a s = XX rs -+- 7 Y rs ■+- ZJZ" 



rs,p j) p p 



quindi 



(21) X rs — X\\ — A,X) — Y' S VXY— Z rs VXZ = a' aX ys -4- 3 Y rs n- yZ") 

 ed analogamente 



Y f , = S(aX" -+■ 8 Y s -+- yZ rs ) , Z rs = y(aX rs -+- 3 Y rs -+- yZ") ; 



