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Quindi, poiché muovendosi sulle linee di curvatura, si ha 



(26.J 



/ X 1 dx l -+- X 2 dx 2 = p(a 1 dx l ■+- a 2 dx 2 ) , 



Y 1 dx l -+- Y 2 dx 2 = pi^dx^ -+- 2 dx 2 ) , 



' Z l dx l -+- Z 2 dx 2 — p(y 1 dx l -+- y 2 dx 2 ) , 



cosi avremo 



a 1 [(/> H- a l2 A 12 •+■ a n A u )dx ì -+- {a 12 A n -+- a^A^dx^ -+• 



-+- a 2 [(a 12 A~-t- a u A ì2 )dx l H- (p -+- a^A 12 -*- a^A^)dxA = 



e due formule analoghe, cangiando a in /? ed in y. Ma le equazioni 



<h = P 1 = 7 1 



«2 ' Pz 7-2 



equivalgono alla equazione a derivate parziali, che spetta alle superficie svilup- 

 pabili, se escludiamo che la superficie considerata sia sviluppabile, vediamo che 

 i suoi raggi di curvatura principale sono radici dell' equazione 



p-ha u A u -^a 12 A 



12 



a 12 A n -+- a^A 12 =0 



a n A™+-a X2 A™ p 



a l2 A 12 -+- a^A 



22 



ossia 



a u -hpA u a ì2 -*-pA XÌ 



a !2-+- P A 12 a «2^- P A 22 



= 0. 



Da questa equazione si deduce immediatamente che, se le linee coordinate 

 sono quelle di curvatura, si ha 



(27) 



A n= — Mr 



A 22= — P2 b 22= — f 



r 2 



e conseguentemente A l2 - 

 equazione ■ 



(28) 



0. Osservando poi che i rapporti dei coefficienti della 



A n -+-pb u A x 



P h l2 A 



A 



ìg 



22 



PK 

 PKz 



= 



sono invarianti assoluti, se ne deduce, scegliendo per linee coordinate le linee di 



