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 x , x se ne sostituiscono due ;;ltre, ed avremo 



(32) V„XY=^l, V„XZ=^-, V 22 YZ=A-. 



P,P 2 " P1P2 P1P2 



Le equazioni (20), (29)-(32) stabiliscono delle relazioni fra le quantità p % , p 2 

 a. (3, j e delle espressioni invariabili di X, Y, Z, eliminando fra queste equazioni 

 e la notissima a 2 ->r (3? -ì- y~ =z 1, le p x , /), , a, /?, y troveremo delle equazioni a 

 derivate pai*ziali cui dovranno soddisfare le coordinate X ì Y, Z dei punti di tutte 

 le superficie applicabili sopra una data, di tutte quelle superficie cioè per le quali 

 è possibile ridurre il quadrato dell' elemento lineare alla forma 2*a. s dx r dx s , colle 

 a rs funzioni date delle x lt x 2 . 



La prima, per esempio, delle (30) combinata colla prima delle (20) dà 



A 2r X=(l-A 1 X)-L=(l-A l X)^ 

 P1P2 u 



ma poiché, come si proverà al § 7, si ha A = a n 12 questa assume la forma 



(33) & S2 X=(l — A 1 X) C ^. 



(X 



Questa veramente non è una equazione nuova, vi si giunge ordinariamente col se- 

 guente ragionamento : il problema della determinazione delle superficie applicabili 

 sopra una data, sulla quale il quadrato dell'elemento lineare è dato da 2a rs dx .dx sì 

 consiste nel trovare tre funzioni X, Y, Z di x., x 2 tali che dieno 



dX 2 -hdY 2 -*- dZ 2 — Za dx dx, , 

 ossia 



d P -+- dZ 2 = 2(a,. s — XX s )dxdx s ; 



quindi, posto b rs = a rs — X r X sJ dovrà essere b 2 = poiché pel primo membro, 

 che rappresenta ciò che diviene il secondo quando alle x x , x 9 si sostituiscono le 

 Y, Z, l'analoga espressione, che sappiamo (§1) essere uguale a 6 19 10 moltiplicato 

 pel quadrato del determinante della sostituzione, è identicamente nulla ; ora lo svi- 

 luppo della equazione & o =0 conduce appunto alla equazione (33). 



Notiamo anche queste espressioni della curvatura gaussiana della superficie 



J_ V*2 XT = V* 2 XZ == ^n YZ 



PrPs VXY VXZ VYZ " 



