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 Le equazioni (26), nelle quali dx ì , dx sono gli aumenti delle coordinate 

 quando dal punto x l , x si passa ad un altro infinitamente vicino situato sopra 

 una delle linee di curvatura corrispondenti a quel punto, non sono indipendenti 

 fra loro, perchè ordinatamente moltiplicate per a, /?, y e sommate danno luogo ad 

 una identità, da esse, eliminando p, si ottengono le equazioni differenziali delle 

 linee di curvatura. Moltiplichiamole per ciò ordinatamente per X n Y xì Z x , poi 

 per X , Y 2 , Z 2 e sommiamo ogni volta, avremo 



a u dx l -+- a l2 dx 2 = — p(A n dx 1 -+- A l2 dx 2 ) , a 12 dx 1 -+- a 22 dx 2 = — p(A l2 dx l •+- A^dx 2 ) , 

 donde 

 (34) dx ì 2 (A u a u — a ls A u ) -+- dx^xja^^ — o 22 ^ n ) ■+■ dx 2 {a^A^ — a^A 12 ) = . 



Ma l'eliminazione può farsi diversamente; si moltiplichino le (26) prima per 

 a \i fin 7\ P ' P er a ^i @2i 7» e s ' somm i °o m volta, si avrà 



A u dx 1 -+- A ì2 dx 2 = — p{b n dx x -+- b l2 dx 2 ) , A l2 dx Y H- A 22 dx 2 = — p(b l2 dx x -+- b 22 dx 2 ) , 



eliminiamo fra queste il p ed avremo sotto altra forma le equazioni differenziali 

 delle linee di curvatura, sarà cioè 



(34') (b 12 A u — b u A l2 )dx{ -k- (b 22 A n — b u A 22 )dx^dx 2 ->r- (b^A^— b l2 A w )dx*= , 



dovrà quindi essere 



^12^11 ^11^12 _ ^22^11 ^11^22 _ ^22^ 12 ^12^22 . 



a il-^12 fl 12-^H f 'll^22 ft 22 11 ff 12-^22 a 22^12 



e se fosse « 12 =0 si avrehbe da queste relazioni 



A ^ a nK~ a M = MAi a 22— ^22 a il) 



se dunque non è 1 ^- = 1 ^-. l'unico sistema ortogonale, che tale si conservi nella 



*u è 22 

 rappresentazione sulla sfera, è quello delle linee di curvatura, poiché se è nullo b l2 



lo deve essere anche A 12 . 



Gli ombelichi sono dati dalle due equazioni -Jì- = —&- = -j&- . 



11 12 22 



Le equazioni differenziali delle linee di curvatura si ottengono dunque ponendo 

 uguale a zero l' jacobiano delle due forme 2a. s £ ( .£ s , ZA rs ^ s . L'equazione 

 2a . s dx r dx' s = rappresenta sempre linee immaginarie, perchè il primo membro è 



