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 una forma positiva, ma 1' equazione 'LA rs dx r dx a = può rappresentare 1' equazione 

 differenziale di due linee reali, esse diconsi le linee assintotiche della superficie e 

 :sono caratterizzate dalla proprietà che in ogni loro punto esse sono coniugate a 

 loro stesse, quando per direzioni coniugate si intendano due direzioni dx x , dx 2 ; 

 dx l , dx 2 tali che si abbia 



dadX-v- dfidY-\- dydZ = — A u dx 1 dx 1 — A l2 (dx l Òx 2 -+• dx 2 bx x ) — A 22 dx 2 ò'x 2 = . 



Se si osserva che il primo membro della equazione delle assintotiche è una forma 

 quadratica invariabile, si vede che nel caso in cui si prendano per linee coordinate 

 le linee di curvatura, essa diviene 



(35) 



A n dx*-+- A 22 dx 2 = — dx 2 ■ 

 Pi 



a 



^dx 2 =0 

 Pz 2 



la quale pone in evidenza, poiché a u , a 22 sono positive, che le linee assintotiche 

 sono reali soltanto nei punti nei quali le curvature hanno segni opposti. 



Le tangenti alle assintotiche e quelle alle linee di curvatura, che passano per 

 un punto, formano un fascio armonico e , poiché le linee di curvatura sono fra 

 loro ortogonali, esse bissecano gli angoli formati dalle assintotiche. 



4. Le ti*e forme covarianti 



ove S è una funzione qualsivoglia di ìCj, x , danno luogo ad altri invarianti oltre 

 quelli già considerati, e cioè 



2A r 'SS 



s r 



alA^ 



a n A u S& 

 a i2 As 8 i S s 



a 22 A 22 "% L % 



vediamo quale ne è il significato geometrico. Se ricordiamo che le linee geodeti- 

 che di una superficie sono quelle, che hanno per normale principale in ogni loro 

 punto, la normale alla superficie, vedremo che si potrà scrivere per esse 



r ds' r hk ds ds " " ds~ 



drY 

 ds 2 



72 



-+- fi n " ' n y yiik'-^h ""^* nV V ^ h 



, l .dx h dx li 

 ds ds 



-? = Pds* 



ds~ 



^Z _ n v 7 kk dx h dx k d\ 



ds~ ' M ds ds r n ti fo 



