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lunque annullare ^ , per le linee assintotiche dovrà essere cosà = 0, ossia il 



piano osculatore alle linee assintotiche in un loro punto qualunque coincide col 

 piano tangente alla superficie. 



Per le forinole di Frenet sappiamo che si ha la torsione di una linea dalla 

 equazione 



1 _ (d cos À'f -t- (d cos (xf -t- (d cos vf 

 T 5- d? 



se À, (Jb 1 v sono gli angoli che la binormale fa cogli assi delle X, Y, Z, quindi 

 per le assintotiche sarà 



1 _ 1ib,. s dx r dx s 



T 2 Hia. s dx r dx s 



e se le linee x v x f sjno quelle di curvatura si ha per le (27) e (35) 



_^ _L_ 



donde il teorema di Enneper : Il quadrato della torsione delle assintotiche in 

 un punto è uguale alla curvatura gaussiana cambiata di segno. 



Passiamo ora a stabilire il significato geometrico dell' altro invariante. Per ciò 

 osserviamo che se a, b, e ; £ ; ?p, f sono rispettivamente gli angoli che la tangente e 

 la normale principale ad una curva fanno cogli assi coordinati, dalle forinole di 

 Frenet si ha 



1 1 „ d cos £ 1 1 d cos r? 



— COS a -H -= COS A = ; , — COS -+- — COS IL = ; , 



p T ds p T ^ ds 



11 d cos t 



— COS C -+- — COS V = ; 



p T ds 



e quindi la torsione è data dall' equazione 



1 ., d cos % d cos r? d cos £ 



-T = C0SÀ -d^^ C ° S ^^^^ C0SV ^i-- 



Se la linea considerata è la geodetica tangente ad una linea, si ha 



cos | = a , cos ri = /? , cos £ = y 



dx, dx„ Tr dx. ^ dx s dx, dx 



co S t = X 1 -^ + X 2j f, cosfi^Y^+Y^, o*v = Z l -rf + Z t - s f,. 



