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ove dx l , dx 9 sono gli aumenti delle coordinate per uno spostamento sulla superficie- 

 normale alla geodetica, dovrà quindi essere 



{a n dx l -+- a x2 dx 2 )dx l -+- (a ì2 dx ì -+- a 22 dx 2 )dx 2 = 



dx 

 e sostituendo alle derivate di a, $, y le loro espressioni (24) ed a ■%-*■ il suo va- 



ox 2 



lore, sarà 



1 1 



a- 2 



A, 



12 



A 22 



o o 



~2^2 



T ~~ Afì.al 



la quale mostra che la nostra espressione invariabile non è che la torsione della 

 geodetica tangente alla linea «S=cost. , o, come l'ha chiamata Bonnet, la tor- 

 sione geodetica di S. Da questa espressione della torsione geodetica si rileva 

 subito, col confronto colla (34) che la torsione geodetica delle linee di curvatura 

 è nulla e che per le assintotiche la torsione geodetica non differisce dalla torsione 

 della linea. 



Quando 1' equazione 2l rs dx r dx s = rappresenta due linee , essa equivale a 

 2S r T s dx r dx s = 0, la condizione perchè esse sieno ortogonali è che si abbia 2,l rs a rs =0, 

 vediamo dunque che le linee di curvatura in un punto qualunque sono fra loro 

 ortogonali, ma che le assintotiche lo sono soltanto laddove si ha "2iA,. s a rs = 0, ossia 

 ove le curvature sono uguali e di segno opposto. 



5. Consideriamo un sistema di linee (p = cost. e le loro traiettorie ortogonali 



ih = cost. , presi questi due sistemi come linee coordinate, il quadrato dell' ele- 



c $ 

 mento lineare della superficie assumerà la forma c n d(p 2 -+- c^dip 2 e se sarà — = ^, 



C 22 



con $ e "*¥ funzioni soltanto delle <p e tp rispettivamente, cangiando opportuna- 

 mente i parametri senza variare linee coordinate, si potrà porre il quadrato del- 

 l' elemento lineare sotto la forma A(d(p 2 -h- dip 2 ) ì le linee (p e ip sì diranno allora 

 isoterme e riferite a parametri isometrici. La condizione necessaria e sufficiente 

 per che ciò avvenga è che si abbia 



d 2 log ^ d log 2u 



-3* = 0, ossia, —J* = F(<p), 

 d(pdip d(p T 



con F simbolo di funzione arbitraria ; ma se si osserva che abbiamo 



^ V 2T C U C 22 C ll d( P 



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