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 i cui coefficienti sono quelli stessi dell' equazione delle linee di curvatura. 



7. Il determinante A non è che 1' espressione a del § 1 . Infatti abbiamo» 



x 11 r 11 z u 



X 1 Y l Z l 

 X 2 Y 2 Z 2 



22 r?22 



X 22 Y 22 Z 

 X, Y Y Z x 

 X Y a Z„ 



^12 yl2 ^15 



X, Y 1 Z l 

 X 2 Y 2 Z 2 



2X»X 22 a lhl a Ui2 



22,1 



22,2 



«11 «12 



«12 «22 



2X l2 X 12 a m a 1%2 



12,1 



12,2 



«11 «12 



«12 «22 



d 2 a 



12 



1 d?a, 



1 d 2 a„ 



dx ] dx 2 



2 dx a 



2 dx. 



2 « M («12,p«12, ? — «U )P «22, 3 ) = «12,12 



Quindi l' invariante assoluto -^ sarà uguale a ; la curvatura totale dipende 



« PiPt 



dunque soltanto da a n , a l2 , a 22 e loro derivate (teorema di Gauss). 



Osserviamo che a è sempre positivo, quindi nella flessione il segno di A, in 

 ogni determinato punto di una superficie, non muta e poiché da esso dipende se 

 le corrispondenti linee assintotiche sono reali e distinte (punti iperbolici) od im- 

 maginarie (punti ellittici), si vede che questo carattere dei vari punti si conserva, 

 nella deformazione. 



8. Formiamo le derivate covarianti di uno qualunque dei sistemi di funzioni 



rs ' 



F ; Z rtì che indicheremo con S rs . Sarà 



NO 



S , = ^ — 2a p %a, S -+- a , S ) 



e per conseguenza 



8 



rst 



8 , =-^* — EéF(a ttm S- 



rls >„ V st,p rq 



<S,„ 



J ris 



<>8ri 

 ÙX, 



à8 rt 



n r S , V 8 tq ) 



2a pg (a 8, —a , 8 ) ; 



V rs,p tq rt,p sq' J 



ma dalle equazioni 



da? ( 



da, 



2 A. S" = - V sf = - S ^'«W -<- »,,,) 



si ricava 





= - Sa V(«, M 



«4 



'ftyi 



)f 



