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 ■si riconosce che deve essere A m = A m . Nella stessa guisa si mostrerebbe che 

 deve essere A^ x = A nc> . Quindi poiché si ha evidentemente A rst = A„ n si vede 

 che la permutazione degli indici in A nt non ne altera il valore. 

 Le equazioni 



/"> A Ì)A 7)4 Ti A 



.(41') *£i h- ^a n A j2 = -^1 -H Sa^A ; J +- S*,^ = *é« -H Sa^A, 



sono note col nome di formule di Codazzi. Queste, insieme alla relazione stabilita 

 al § 7, esprimono la condizione cui devono soddisfare le funzioni A nì A , A^ per 

 avere il significato che abbiamo loro attribuito in questa teoria. Infatti per che 

 le A rs abbiano quel significato devono esistere tre funzioni X, Y, Z di x lì x 9 tali 

 da verificare le sei equazioni 



(42) 2X 2 = a xx , 2X 1 X 2 = a X2 , 2X 2 = a 



22 



aX u -h @Y u -h yZ n =A u , aX 12 -+- PY l2 +vZ ì2 = A ÌS , 

 (43) 



ora dalle (42; si ha 



(42') « re „ = 2I.T s 



e da queste sei equazioni e dalle (43) ricaviamo per le X r % Y rs , Z rs le espressioni 



•(44) X" = aA rs -+- ^a M a rSih X, , T" = $A„ -+- 2a M a r9>h Y k , Z rs = 7 A rì -t- 2a**a„A . 



hk li* M 



Per la coesistenza di queste equazioni basta che si abbia 



I M = I«, X 22Ì = X 212 



(e quattro analoghe mutando successivamente X in Y ed in Z) 1 quando negli 

 sviluppi si pongano per le X" le loro espressioni (44). Ora queste equazioni svi- 

 luppate danno 



«(Ai 2 — A m) "+■ A n a i ~ A v a * "+- °W V^j = ° ' 

 a(J M — A, i2 ) -t- A»^ — ^ 12 « 2 -+- «i 2J2 VX, = , 



ossia, poiché le (43) equivalgono alle (23), dalle quali abbiamo dedotto le (24), 



*(4i«— A m) ■+" ( a m2— A)Za 2l X.= 7 a(A. m — J 81s ) -+- (a lwt — J)2<^X. = , 



