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 ed oltre a queste avremo come equazioni di condizione altre quattro clie se ne- 

 deducono cangiando X in Y ed in Z e contemporaneamente a in /S ed in y. Mol- 

 tiplichiamo queste equazioni per a e le omologhe per j? e y, sommandole tre a 

 tre, ne dedurremo, stante le relazioni 



aX + ^f+^.^O, 

 le altre 



A m = A m ' J 22i = J 2i2 e c l uindi °12,12 = ^ 



come volevamo dimostrare. Se queste equazioni sono soddisfatte, dalle (42), (43), ■ 

 note che sieno le A rsì ne dedurremo, per un teorema noto di Lie i*) le X, Y, Z 

 in funzione di x x , x 2 e queste saranno determinate a meno di 6 costanti arbitra- 

 rie ; il che esprime che la superficie è allora individuata, soltanto non è fissata la 

 sua posizione nello spazio. 



9. Le formule di Codazzi sono fertili di utili conseguenze, ne indicherò alcune. 

 Quando si scelgano come linee coordinate sulla superficie le linee di curvatura,, 

 le (41) divengono 



(41"\ 8 Al == a "^U- | - ag8 4B ;)a u ■>/« -- a "Al ■+- ^ A » Sg g 



ìx 2 2 ix 2 ' to^ " 2 te, ' 



ossia, se chiamiamo o, , a„ le due curvature principali, vale a dire — , — , 



12 Pi P, 



d»l <3 2 Q 1 () log a„ dfi> a Q 2 Q 1 a log fl^ 



te 2 — " 2 cte 2 ' ^ ~~ 2 ìx x 



La condizione necessaria e sufficiente perchè le linee di curvatura sieno isoterme 

 sarà dunque 



d I 1 da x \ di 1 da 2 \ _ 

 dx x \o 2 — o x dx.-, ì dx 2 \a 2 — o x dx x / 



Questo non è che un nuovo aspetto della equazione dalla quale parte il sig. Weis- 

 gartìsn nella sua elegante memoria TJeber die Differentìalgleichung der Oberflachen,. 

 ivelche durch ilire Kriimmungslinien in unendlich Heine Quadrate getheilt icerden 

 konnen e pone subito in evidenza che la condizione è soddisfatta per le superficie 

 a curvatura media costante. Che questa equazione equivalga a quella dalla quale 



(*) Vedasi Sophus Lie Theorie der Trans formationsgruppen Erster Abschnitt. Kap. 10. (Leipzig, 

 1&88J, 



