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 parte il Sig. Weisgarten si riconosce facilmente, osservando ch'essa esprime la 

 •condizione perchè sia un differenziale esatto 



od anche l'altra espressione 



° 2 



che si deduce da essa sottraendone il differenziale completo cZ log (o, — c^) ; ma 

 questa espressione moltiplicata e divisa per a, — o n e tenuto conto delle (25), si 

 trasforma nell' altra 



1 \d(a -+- a) d(a-^o 2 ) ~ d(a .-+- a ) 1 



. r5 * 2 da h ' 2 dfi -+- ' 2 - dy — dfo.cO I 



che è appunto quella considerata dal Weingarten. 



Anche il problema : trovare la condizione cui devono soddisfare le curvature 

 principali perchè le immagini sulla sfera ottenute al modo di Gauss delle linee di 

 curvatura, sieno un sistema di linee isoterme, è facilmente risolubile. Perchè le 

 (41") possono scriversi anche così 



(Al'"\ d ]og A " «! ■+• Qg <? log o l d log A^ o 1 H- o 2 d log o 2 



dx 2 ~ g 2 — Oj dx 2 dx x o l — o 2 dx l 



e poiché si ha dalle (27; 



A n a 1 -+- b n == , A 22 o 2 -1-622=0 

 ne deduciamo 



v d log b n _ _2 dp^ d log \ 2 _ 2 dp 2 



' dx 2 ~ p 2 —p x dx 2 ' dx 1 ~p 1 — p 2 dx l 



quindi la cercata condizione sarà 



d 



dx 



1 \P>— Pi dx J "*" dx 2 \P2 — Pi (1x \ ' 



Dalla quale risulta subito che la indicata proprietà appartiene a tutte le superficie 

 nelle quali la somma dei raggi di curvatura è costante. Questa condizione è su- 



