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 scettibile di una trasformazione analoga a quella eseguita su quella del problema 

 precedente ; essa equivale infatti a dire che deve essere un differenziale esatto I' e- 

 spressione 



1 \oo \ d(P > + P * ] da i d(p * + p * ] d3 I d (P * ~+~ P * ] rfrl d(p p , ' 



quando si considera come funzione di x t , x £ . Ragionando come il Weingarten ha 

 fatto sulla espressione or ora trovata si potrà ottenere l' equazione differenziale 

 del quarto ordine, che spetta a questa classe di superficie. 



Le (41'; danno anche una facile soluzione del problema: trovare la condizione 

 cui deve essere soggetta la curvatura totale di una superficie perchè essa sia ap- 

 plicabile sopra una a curvatura media costante. Prendiamo su quest' ultima due si- 

 stemi di linee isoterme, ortogonali fra loro, per linee coordinate, il quadrato del- 

 l'elemento lineare sia X{dx 2 -\- dx 2 ) e si ponga 1 = — 2c, si avranno le 



12 Pi Pt 



relazioni 



1x7- dx, ^°dx n ' dx, - dX ^"dx, ' Al-l-A*-^, Al^2-A 2 ■+-«!»„ 



- 2 j 



e col porre 



R% = ^ V — Ai - «12,12 > / = g bg (CU2 ~~ *»»*> ' 



si avrà, con facili riduzioni, 



e quindi 



dx x dx x dx % dx 2 \ dx Y dx x dx 2 dxj 



ossia 



iUA 2 /=0. 



Ma si ha R = , ossia Afe 2 = A* -t- a iai2 soltanto se la superficie è una sfera 

 (poiché prese per linee coordinate quelle di curvatura, che sulla nostra superficie- 

 pel teorema or' ora dimostrato costituiscono un doppio sistema di linee isoterme,. 



questa equazione dà — = — , ossia tutti i punti di quella superficie sono ombe- 



ri Pi 

 lichi) ; escluso che la superficie a curvatura media costante ora considerata sia 



una sfera, la condizione cercata è dunque A 2 /*:=0, ossia 



A 2 log A 2 -+- A 2 log (e 2 — K) = 



