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 ove K è la curvatura gaussiana, e poiché si ha 



A 2 log /L = — 2K , 



questa equazione assumerà la forma 



A 2 log (e 2 — K) — 4E ; 



questa resta invariabile non solo al cangiare coordinate sulla superficie, ma anche 

 quando si deforma la superficie stessa, quindi è la cercata condizione cui deve 

 essere soggetta la curvatura totale di una superficie perchè essa sia applicabile 

 sopra un' altra a curvatura media costante. Essa coincide colla formula già tro- 

 vata dal prof. Ricci per le superficie applicabili su quelle di area minima, quando 

 vi si faccia e = 0. 



1®. Se osserviamo che si ha 



(45) * (1 -+- 1) = _ 2cf°A r$ì , A_a + L) = _ a^ 



dx 1 \p l pj rs ,$ì dx 2 \p l pj 



s2 



si riconosce e 



A ni . Parimente avendosi 



he l'invariante assoluto Ad 1 ] può esprimersi per le a rs e le 



\R\ Pr 



(46) ^K* = 2 ^ lf éJ^X-^ZA-A. (*) 



uu>, r s \AJj~ rs 



si riconosce che la espressione Aj log A", invariabile col cangiare le coordinate 

 sulla superficie ed anche col deformare la superficie stessa, è esprimibile per 

 mezzo delle ct rsì A rsì A rst . Ma il modo più naturale di costruire delle espressioni 

 invariabili che contengano le A rsi è di partire dalla forma cubica JjA rst ^ r ^ tl co- 

 variante colla (13) e colle altre già considerate e costruire gli invarianti assoluti 

 comuni a tutte queste forme. 



(*) Lo (45) e (46) si ottengono facilmente sostituendo alle derivate delle A rs le loro espres- 

 sioni per le A rst , si ha infatti 



d 



A 



dx 



2a rs Ar S — 2a n A nl -+- 2 [a rs a™(A rp a ls , q -ì- A sp a lr , q ) — a rp a sq (a lpìq -+- a lq , p )A rs '] = Ha n A„i 



(iX\ rspq 



- log E = ^ *J±\ = TUL«%k - *£££=2L*vU+2ì A-a™(A,, p a ls , q + A sp a,,, q ) - ***2. ■. 



i A dx\ a ) dxi dx x rsp3 dxi 



come volevamo provare. 



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