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 1' ultima delle quali è l' hessiano della forma cubica, è dato da 



«n Ai -^111^221 — Al2 



«12^12-7(^111^222—^112^221) 



n A A A * 2 



M 22 ^22 ^222^ 112 -° 221 



«11^12 «I2A1 Aliali 



1 



(«11^22 «22""ll' "^121 2 



212 



«12 22 «22 12 122 222 



aA 



dH d\ogK 

 dH d\ozK 



dx„ dx n 



quindi il suo annullarsi rappresenta la condizione necessaria e sufficiente affinchè 

 i raggi di curvatura sieno uno funzione dell'altro. Possiamo enunciare questo ri- 

 sultato in altra forma. Si considerino nel piano tangente alla superficie in un 

 punto qualunque le tangenti alle curve rappresentate dalle equazioni 



(48) 



2A ,dx dx = , 'ZA Ax dx, = , 



j .si r s ' rs2 r s i 



i raggi di curvatura saranno funzione uno dell 1 altro, se le tangenti alle linee di 

 curvatura apparterranno alla involuzione quadratica determinata dalle due coppie 

 di tangenti alle linee (48). 



Quando per linee coordinate si prendano le linee di curvatura si ha 



(49) 



do, 



'in 



-<4-no — 



11 dx x ' 



-a ^i A 



"dx' I22 



"22 



da 2 



di 



' "222 



se 



da 2 

 dx a 



per conseguenza l'equazione di forma invariabile A 31 ^l— si trasforma nell'altra 



do. dia, — a.) do 9 d{o. — a 9 ) 



\À dj ~ \X tX-Q 



2 ~dx Y dx l 



donde si vede che con A A = si può rappresentare la condizione che la diffe- 

 renza delle curvature sia costante in ogni punto della superficie. 



Se per linee coordinate si prendono le linee di un sistema (p = cost. e le loro 

 traiettorie ortogonali ^/, 1' equazione A 31 <^ = darà 



d i-Aoo\ A l2 w* 22 r. 



dtp\a 2 J 



a d<p 



e se le (p = cost. sono linee di curvatura, questa equazione esprimerà la condi- 

 zione perchè queste linee sieno a curvatura costante o sferiche. Se dunque fra 



