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VOLTBRJU, Hai»amaki>' et Paul Lkvv ont tait l'étude d'une 



catégorie de fonctionnelles qui ont un rapport étroit avec les 

 problèmes classiques de la physique mathématique. Hadam ïmd a 

 donné d'autre part une représentation générale d'une fonction- 

 nelle linéaire sous forme de la limite d'une intégrale. Fréohet, 

 en se plaçant à un point de vue plus général, a donné le déve- 

 loppement, sous forme d'une série d'intégrales multiples, d'une 

 fonctionnelle continue dont la variable ou argument est une 

 fonction continue a une variable définie sur un intervalle fini. 

 (V résultat de Frkciikt est exposé dans un article intitulé Sur 

 les fonctionnelles continues paru dans les « Annales Scientifiques 

 de L'Ecole normale supérieure », 1910, pp. 193-216. J'ai ('tendu 

 le résultat de Fbéohet au cas où la fonction argument appar- 

 tient à un ensemble E satisfaisant aux conditions suivantes : 



1° Les fonctions de E sont holomorphes à un nombre quel- 

 conque // de variables. 



T 11 existe un domaine D de l'espace à 2« dimensions com- 

 prenant l'origine, situé tout entier à distance finie et intérieur 

 au sens étroit à un domaine D'. lui-même intérieur à toutes les 

 étoiles d'holomorphie des fonctions de E. 



!' Dans D les fonctions de E sont toutes bornées en module 

 par un nombre fixe M. 



L'essence de mon raisonnement, qui exigerait de nombreuses 

 pages de développement, consiste a établir ceci : 



On peut donner d'une fonction /deE une approximation pat- 

 un polynôme 



telle que l'on ait 



I /'(-, =n) ~ tprfr -n) I <« 



f désignant un nombre arbitrairement petit, pourvu que p soit 

 supérieur à un nombre fixe L: et cela quels que soient le point 

 ... : M i de D et l'argument /' (z { , z n ) dans E. 



1 Hadamabd. Leçons sur le calcul des variations, Paris. 1910, p. 281 



■ •t -uivantes. 



