104 SÉANCE DU I e ' DÉCEMBRE 



Ce point étant admis, en faisant jouer aux polynômes 



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le rôle que Fréchet fait jouer aux sommes de Fejer 



attachées au développement de Fourier, il n'y a aucune diffi- 

 culté à étendre sa méthode et son résultat au cas actuel. 



De plus l'ensemble E forme dans D une famille normale, un 

 ensemble compact et le développement en série d'intégrales 

 converge uniformément dans E. 



Chaque intégrale simple du développement de Fréchet est 

 remplacée par une intégrale n u v le prise suivant n courbes fermées 

 situées dans les plans des variables & r , 2 2 , ...,£« respectivement. 



Cas particulier des fonctions harmoniques. 



Si l'ensemble E est formé de fonctions harmoniques réelles 

 dans l'espace réel, le développement peut être obtenu sans avoir 

 recours au domaine complexe, ce qui est bien naturel. On sait, 

 en effet, que l'intégrale de Poisson qui résout le problème de 

 Dirichlet pour le cercle ou la sphère permet d'obtenir le déve- 

 loppement d'une fonction harmonique en série de Taylor au 

 voisinage de l'origine. Dans le cas du cercle le développement 

 est analogue à celui de Fourier, dans le cas de la sphère il pro- 

 cède suivant les fonctions sphériquesde Laplace. 



Dans le premier cas, les intégrales du développement de la 

 fonctionnelle seront prises le long d'un cercle entourant l'ori- 

 gine. Ce cas ne diffère guère de celui de Fréchet. Dans le second 

 cas, le développement de la fonctionnelle procédera suivant une 

 série d'intégrales étendues à la sphère, que je suppose bien en- 

 tendu intérieure au domaine D, et dépendra des coefficients des 

 polynômes de Legendre. 



Sur quelques interprétations physiques. 



Los potentiels newtoniens, électrostatiques, magnétiques, sont 

 des fonctions harmoniques en dehors des masses matérielles ou 

 électriques. Dans les problèmes de l'équilibre d'un corps élasti- 

 que, de l'équilibre calorifique d'une plaque isotrope, deladistri- 



