20 DE AANTALLEN KWADRATISCHE HYPERKUIMTEN 



de aantallen t 4 helpen berekenen; en t is de weerkeerige van x 4 . 



De aantallen tt 3 . 



En de ontaarding rr 3 bestaat uit de vlakken, die rusten op een 

 vlak, waarin een kegelsnede ligt, en een punt geineen heeft niet 

 een tweede kegelsnede, terwijl de vlakken der kegelsncden elkaar 

 kruisen. De raakhyperruiuiten gaan door de tweede kegelsnede en 

 raken aan de eerste kegelsnede. 



Om de aantallen t 3 uit de ontaardingen ^ en y l2 , waarbij ^ een 

 dubbelruimte is, welke een kegelsnede draagt, terwijl de ruimte 

 zelve de doorsnede van twee hyperruimten is, en waarbij vj 2 een 

 dubbelhyperruimte is, die een ^ draagt, te bepalen, beschouwt 

 men op een lijn B een punteninvolutie, waarbij een puntenpaar 

 de doorsnijding met eenzelfde 7r 3 is. Het is duidelijk, dat men 2 e 

 coïncidenties verkrijgt, welke aan den anderen kant ontstaan uit 

 de d 2 keer, dat het gebeurt, dat de drager een tt 3 aanraakt, en uit 

 de vj 2 keer, dat de drager de dubbelhyperruimten van vj 2 snijdt; dus: 



2 e = d 2 -f tj 2 . 



Beschouwt men nu nog een stralenbundel in een vlak, dan ver- 

 krijgt men een overeenkomst (//.,, d 2 ). De 2 cL coïncidenties ontstaan 

 aan den anderen kant uit de vj { keer tengevolge van het snijden 

 van het draagvlak en de dubbelruimte van y n , uit de c 2 keer van 

 het gaan der hyperruimte door het centrum van den stralenbundel 

 en de 2 c keer, dat het draagvlak het dubbelvlak van tt 3 ontmoet, 

 zoodat: 



2 'h = e 2 + *li + 2 c - 



Tevens staat tt 3 in H b weerkeerig tegenover zichzelf. De aan- 

 tallen t 3 worden bepaald door de formules: 



3 d 2 = 4 c + 2 Vj -f % , 3 e 2 = 2 c -f ^ -f- 2 *. 



Hierbij is y] { met 2 S en v\ 2 met 2' te vermenigvuldigen. 



Om de bovenstaande formules voor de aantallen kwadratische 

 hyperruimten te bewijzen, beschouwen wij op een lijn een punten- 

 involutie, waarbij die twee punten met elkaar overeenkomen , welke 

 eenzelfde kwadratische ruimte snijden; dit geeft 2 e 2 coïncidenties, 

 welke teruggevonden worden in de snijpunten van de lijn (drager) 

 met de dubbele hyperruimte van de ontaarding tt 5 ; en de raak- 

 punten der lijn met kwadratische hyperruimten; hieruit volgt, dat: 



2 e 2 = n +^2- 



