10 DE AANTALLEN KWA.D1UT1SCHE HYPBüRUIMTKN 



ruimten door deze figuren 18 enkelvoudige voorwaarden op te leggen. 



Bij de kwadratische ruimten moet men vier enkelvoudige voor- 

 waarden <7 2 , b 2 , c 2 , <L> onderscheiden. Door a 2 , b 2 , c 2 wijzen wij 

 achtereenvolgens aan, dat een gegeven hyperruimte E, een gegeven 

 ruimte 1), een gegeven vlak C de kwadratische ruimte aanraken, 

 hetgeen insluit, dat de kwadratische ruimte door de hyperruimte 

 volgens een kegel, door de ruimte D volgens twee lijnen (reëel of 

 imaginair), door het vlak 6' in twee samen gevallen punten gesneden 

 wordt. Verder drukt d 2 uit, dat een gegeven lijn de kwadratische 

 ruimte snijdt. Wij zullen dus stelsels kwadratische ruimten beschou- 

 wen, welke wij door de symbolen [aJ' ö 2 q cJ d 2 \§ of 2 {p q r s) 19 

 zullen voorstellen. 



Een enkelvoudig oneindig stelsel kwadratische ruimten laat een 

 eindig aantal van ieder der ontaardingen k , A, f*, v toe, welke 

 achtereenvolgens gekenmerkt zijn door het bezit van een dubbelpunt, 

 een dubbellijn, een dubbelvlak en een dubbelruimte. 



De ontaarding x. 



De ontaarding k is een kwadratische hyperkegel; deze hyperkegel 

 is bepaald, als men den top en negen beschrijvende lijnen kent en de 

 hyperruimte, waarin de kegel ligt; zoodat •/. van 5 -4-4 -j- 9 = 18 

 afmetingen is. 



Beschouwt men in een gegeven vlak een stralenbundel , dan wordt 

 ieder lijn door c/ 2 hyperkegels ontmoet, zoodat er 2 d 2 coïnciden- 

 ties zijn. Aan den anderen kant snijdt het beschouwde vlak de 

 dubbelvlakken van z x , die de weerkeeiïge van z 3 is (zie beneden); 

 verder de Cj raakpunten van het draagvlak en de 2 e coïncidenties, 

 welke ontstaan, doordat het centrum van den stralenbundel in de 

 e van den hyperkegel komt. Dus: 



2 d 2 = z x -f c 2 + 2 e. 



Ten tweede beschouwt men in een gegeven ruimte een vlakken- 

 bundel en laat die vlakken overeenkomen , welke aan eenzelfde 

 hyperkegel raken; dat geeft 2 c 2 coïncidenties. Aan den anderen 

 kant verkrijgt men een coïncidentie door de' snijding van de dubbel- 

 lijnen van z 2 = a 1 ' b r > 1 + ' h c r d"< + * 2 e' met de draagruimte; verder nog 

 b 2 , doordat de draagruimte een hyperkegel raakt; eindelijk nog d 2 , 

 doordat de as van den vlakkenbundel een hyperkegel snijdt; zoodat: 



2 c 2 = H + K + d 2- 



Beschouwt men ten derde een ruimtebundel in een gegeven 

 hyperruimte, dan raken aan iedere ruimte 6 2 hyperkegels; dat geeft 



