HUNDERTZWANZIGZELLES I ND DES SECHSHUNDERTZELLES, USW. 9 



entspreehenden Schichtungen (3, 3, 3, 3) sind insofern identiscb, 

 dass die Projektionen einander àhnlich sind und deshalb in den 

 drei Grappen I, II, VII nnd die mit ihnen sy metrisch liegenden 

 Grappen 1', II', Vil' die Projektion des Fjauptstrahles 0B Q des 



Z mo auf den Rauin des Ikosaeders in Bezng auf das Ikosaeder 

 die namliche ist, obgleich dieser Hauptstràhl mit jenen Ràumen 

 verschiedene Winkel bildet. Und diese sechs verschiedene Ikosaeder- 

 lagen halten nun hierin mit einander wieder gleichen Tritt, dass 

 die Projektion des Hauptstrahles 0M Q des Z m> immer auf einen 

 Hauptstrahl OK des Ikosaeders senkrecht steht nnd also in dei- 

 Ebene der zwei para Helen Gegenkanten liegt, welehe diesen Haupt- 

 strahl OK senkrecht kreuzen. Bei den Schichtungen (3, 3, 3, 3) 

 und (2, 2, 4, 2, 2) der Gruppen I, II, VII nnd III (gelb) ist 

 dies einleuehtend ; deun bei (3, 3, 3, 3) sind die Schnittebenen 

 zweien Seitenrlachen des Ikosaeders parallel, und bei (2, 2, 4, 2, 2) 

 enthalt die Mittelebene des Parallelebenenbüschels vier Eckpunkte 

 und also zwei Gegenkanten. Für die vier übrigen Falie betrachte 

 man nun an der Hand der senkrechten Projektion der Ikosaeders 

 auf eine Mittelebene durch vier Eckpunkte (Pig. 3) die von den 

 fünf im Eckpunkte p zusanimenstossenden Seitenrlachen gebildete 

 regulàre Pyramide mit der sich in die Gerade qsr projizierenden 

 Grundebene, wo der Scheitel p der erste Eckpunkt der Schichtung 

 ist und die zweite Punktenzahl der Schichtung nun notwendig 

 von der Grundebene herrührt. 1st diese zweite Zahl 2, so muss 

 die Verbindungslinie dieser zwei Punkte notwendig eine Ikosaeder- 

 kante sein und kann für ihr die in q auf der Bildebene senk- 

 rechte Kante angenommen werden, woraus dann hervorgeht, dass 

 die Schnittebenen bei den Gruppen VI (indigo) und VIII (schwarz) 

 auf der Bildebene senkrecht stehen. 1st diese zweite Zahl wieder 

 1 , so ist dieser zweite Eckpunkt irgend ein Eckpunkt der Grund- 

 ebene, z. B. r und rührt nun die dritte Punktenzahl der Schich- 

 tung ebenfalls von der Grundebene her; weil diese Zahl in den 

 übrigen Fallen IV (grün) und V (blau) zwei ist, muss die Verbin- 

 dungslinie der entspreehenden Eckpunkte in s auf (1er Bildebene 

 senkrecht stehen. Also ist hiermit der gesuchte Beweis geliefert. 



10. Mittels Betrachtung der Abstandsverhaltnisse der parallelen 

 Spuren der ersten vier Schichtungsebenen auf der Grundebene der 

 fünfseitigen Pyramide , deren Scheitel p in dei' ersten Schichtungs- 

 ebene liegt, bestimmen wir jetzt die Spuren dieser Ebenen auf 

 der Bildebene der Figur 3 für jeden der vier Falie IV, V, VI , 

 VIII. Es betragen nach Tafel ll lj die ersten drei Abstande 



