24 KEGELMÂSSIGE SCHNITTE UND P110J EKÏIONEN DES 



Grappen VI (indigo), VIII (schwarz) dus helbregulàre gleichflâchige 

 Polyeder (62, 120, 60). 



Die neuen halbregulâren gleichrlâchigen Polyeder (32, UU, OU) 

 und (62, 120, 60) sind (Mehrdimensionale Geometrie, II, S. 189) 

 dem sechsten und dem fünfzehnten der Archimedischen Vielflache 

 polarreziprok verwandt. 



29. War die Bestimmung der Seitenzahl der den Schnittkörper 

 des Z mo begrenzenden Polygone leichter als bei Z 120 , bei der Be- 

 stimmung der Vielkantigkeit der Eckpunkte der Scbnitte, zu welcher 

 wir uns jetzt wenden, tritt das umgekehrte Verhaltnis ein. Aller- 

 dings können wir uns auch hier wieder auf die Uebergangsformen 

 beschranken, weil die Eckpunkte der intermediaren Scbnitte (ver- 

 gleicbe Nr. 3 am Schluss) sammtlich fünfhanüg sind. Aber die 

 von den Zelleckpunkten herrübrenden Eckpunte eines intermediaren 

 Schnittes können von fünf- bis zwöll'kantig sein. Denn das einem 

 Zelleckpunkte des Z® 00 benachbarte Ikosaeder wird vom diesen 

 Punkt enthaltenden Sclmittraum in einem Polygone geschnitten, 

 welches von fünf bis zwölf Seiten und also auch von fünf bis zwölf 

 Eckpunkte hat, und die Verbindingslinien dieser Eckpunkte mit 

 dem angenommenen Zelleckpunkte bilden die durch diesen Punkt 

 genenden Kanten des Schnittes. Allein diese Formulierung der Frage 

 der Vielkantigkeitszahlen enthalt auch sogleich ihre Lösung. Denn 

 die oben erwahnten Polygone werden unmittelbar aus Tafel VIII 13 

 abgeleitet als die Schnitte der dort auf abc. . projizierten Ikosae- 

 der mit in bestimmten Punkten — und zwar fïir das zweite, dritte, 

 vierte und fünfte Ikosaeder der Rcihe nach in 6, e, d, e — auf 

 dieser Gerade senkrecht stellenden Ràumen. Sofindetman, in Verbin- 

 dung mit den bekannten Ikosaederschichtungen, dass die in den vier 

 Uebergangsformen liegenden Zelleckpunkte der Reihe nach fünfkantig, 

 sechskantig , zehnkantig und sechskantig sind. Diese nicht in Tafel 

 XII erwahnten Resultate werden in die tabellarische Uebersicht am 

 Schluss dieser Abhandlung aufgenommen werden. 



Die oben erhaltenen sich auf die Vielkantigkeit der Eckpunkte 

 des Schnittes beziehenden Resultate können wieder auf verschiedene 

 Weisen kontroliert werden. Zunachst ist, wenn x und y die Zahlen 

 der fünfkantigen und ^-kantigen Eckpunkte des Schnittes angeben 



x -\- y = e , 5 x -f- ty = 2k. 



Und weiter ist die Zahl y im Allgemeinen entweder Null oder 

 der Zahl e der Zelleckpunckte des Schnittes gleich. Nur wenn die 



