2 OYER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



Is /, = de normaalvergelijking van de lijn /,, dan heeft men 

 voor ieder vak, waarin het platte vlak door de gegeven lijnen en 

 de lijn in het oneindige verdeeld wordt, de verg. 



£ + k = C 



neer te schrijven, waarbij de teekens zoo gekozen moeten worden, 

 dat binnen het beschouwde vak alle termen positief uitvallen. De 

 door deze verg. voorgestelde rechte lijn , die ook de lijn in het 

 oneindige zijn kan 1 ), draagt alleen dan iets tot de ni. pi. bij als ze 

 minstens één punt met dat vak (waartoe we ook steeds de begren- 

 zing zullen rekenen) gemeen heeft. Van de gevonden rechte behoort 

 dan tot de meetkundige plaats of een punt, hoekpunt van het 

 beschouwde vak, of het binnen dat vak gelegen lijnsegment, dat 

 ook een der zijden van het vak zijn kan. Onder een segment, 

 hetzij van een willekeurige hetzij van een gegeven lijn, zullen we 

 steeds verstaan een stuk van die lijn gelegen tusschen twee opvol- 

 gende snijpunten met van die lijn verschillende gegeven lijnen; bij 

 een willekeurige lijn wordt dit een binnen één enkel vak gelegen 

 gedeelte, bij een gegeven lijn de afscheiding tusschen twee vakken. 



De bijzonderheid kan zich voordoen , dat de gevonden verg. een 

 identiteit wordt, in welk geval ieder punt van het vak tot de m. pi. 

 behoort *). In dat geval is voor ieder punt van het platte vlak de 

 algebraische som der afstanden = C als we voor iedere gegeven 

 lijn een teekenafspraak maken , die binnen het beschouwde vak de 

 absolute waarde van den afstand oplevert. Overal buiten dit vak 

 is dus S > C, zoodat dit vak de geheele m. pi. uitmaakt. Dit 

 geval kan zich dus alleen voordoen als C haar minimale waarde M 

 heeft, d. w. z. de kleinste waarde, waarbij er nog een punt is, 

 dat aan de vraag voldoet; bovendien moet dan nog de som der 

 eenheidsvectoren , die langs de loodlijnen vallen uit een punt van 

 het beschouwde vak op de gegeven lijnen neergelaten, nul zijn 2 ). 



Is C^> M en verschillend van de waarden , die S in de snij- 

 punten van gegeven lijnen aanneemt, dan bestaat de m. pi. uit een 

 eindig aantal lijnsegmenten, die zich in de gemaakte onderstelling 

 (dat de gegeven lijnen niet alle evenwijdig zijn) niet naar het on- 

 eindige kunnen uitstrekken. Men ziet onmiddellijk, dat zulk een 

 lijnsegment in een snijpunt met een gegeven lijn een voortzetting 

 (maar noodzakelijk in een andere richting) in het aangrenzende vak 

 vinden zal. Op deze wijze zal een gesloten veelhoek ontstaan , 



') Dit kan natuurlijk alleen als het beschouwde vak eindig is. 



*) Deze laatste voorwaarde beteekent voor drie gegeven lijnen, dat ze een gelijkzijdigen 

 driehoek, voor vier gegeven lijnen, dat ze een parallelogram vormen. 



