DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 3 



waarvan de hoekpunten op de gegeven lijnen liggen. Van dezen 

 veelhoek kan men gemakkelijk aantoonen , dat hij geen inspringende 

 hoeken vertoonen kan. Immers een lijn, die langs een zijde van 

 den veelhoek valt, is de m. pi. der punten, waarvoor met bepaalde 

 teekenafspraak de algebraïsche som der afstanden = C is, welke 

 algebraische som alleen op de zijde van den veelhoek de som der 

 absolute afstanden is; op het verlengde dier zijde is deze laatste 

 som dus > 6', waaruit volgt, dat dit verlengde de m. pi. niet 

 snijden kan. 



2. Het verloop van S op een willekeurige lijn. 



We beschouwen het verloop der functie S (de som der absolute 

 afstanden) op een willekeurige lijn /, die we snijlijn noemen. Zijn 

 fti , /3 2 > • • •> /3„ de hoeken, die / met de gegeven lijnen maakt, 

 dan is met de vraag welke punten van / tot de m. pi. behooren de 

 quaestie teruggebracht tot de overeenkomstige vraag in één dimensie, 

 waarbij dan echter aan de gegeven punten (snijpunten van / met 

 de gegeven lijnen) de positieve coëfficiënten sin fi { , sin (2 2 , •■-, 

 sin j8,j moeten worden toebedeeld. Langs / laten we in een aan- 

 genomen positieve richting een punt P loopen , waarvan we de 

 plaats aanwijzen door den afstand z tot een vast punt O van / 

 (positief gerekend als OP in de aangenomen pos. richting valt) , 

 zoodat we z laten aangroeien van — co tot -|- co. Nu is 



dS . „ 



— = 2 + sin /3, , 



waarbij het — teeken genomen moet worden voor de gegeven lijnen , 



die P nog niet gepasseerd is, het -f- teeken voor de lijnen, die ge- 



dS . . , ... 



passeerd zijn; — begint dus met de negatieve waarde — £ sin (i h is in 



CtZ 



een zelfde vak standvastig om telkens bij het passeeren van een gegeven 

 lijn op een grootere waarde te springen en met de positieve waarde 

 I, sin (ii te eindigen. Bij het passeeren van een der gegeven lijnen, 



7 C/ 



b.v. /, zal' dus — van — op -j- verspringen, tenzij zich de bij- 

 dz 



7 O 



zonderheid voordoet, dat -- bij het passeeren van / f op springt 



dz 



om eerst bij het passeeren van de volgende gegeven lijn l k pos. te 



worden. Hieruit volgt, dat S op de lijn / met -f- co beginnend 



voortdurend afneemt, totdat in het snijpunt van l met een gegeven 



lijn of in alle punten van een segment van l een minimale waarde 



M' Ç>M) bereikt wordt , waarna S voortdurend toeneemt tot -f- cc ; 



E 1* 



