4 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



hierin is M' de kleinste waarde, die 8 in een snijpunt van /met 

 gegeven lijnen aanneemt; is 8 voor twee opvolgende snijpunten 

 dezelfde, dan is in alle punten van liet tusschengelegen segment 

 8 = M' . Uit dit verloop der functie 8 blijkt, dat 8 een waarde 

 C > M' tweemaal (aan weerskanten van het minimum) aanneemt, 

 zoodat een lijn, waarvoor M'^> C of M' <^ C is, de m. pi. niet, 

 resp. in twee punten snijdt, terwijl een lijn, waarvoor M ' = Cis, 

 met de m. pi. één punt of een segment gemeen heeft. 



3. De meetkundige plaats is één convexe veelhoek. 



Uit het voorgaande volgt , dat de minimum-meetkundige plaats 

 (m. pi. voor C = M) van dien aard is, dat een rechte er slechts 

 een punt van een gegeven lijn of een lijnsegment mede gemeen 

 kan hebben, waaruit weer volgt, dat die min.-m. pi. een snijpunt 

 van gegeven lijnen, een segment van een gegeven lijn of een vak is ; 

 het eerste is natuurlijk het algemeene geval 1 ). 



Verder blijkt, dat iedere lijn, die de min.- in. pi. snijdt met de 

 m. pi. voor C > M twee punten gemeen heeft, zoodat de m. pi. 

 voor C > M één enkele gesloten veelhoek is, die de min.-m. pi. 

 omgeeft. Daar ook gebleken is, dat een rechte lijn niet meer dan 

 twee geïsoleerd liggende punten met de m. pi. gemeen kan hebben, 

 vindt men opnieuw, dat de veelheid convex is. Daar op een snijlijn 

 de grootheid 8 niet in twee opvolgende segmenten standvastig kan 

 zijn, wordt de veelhoek gevormd door lijnsegmenten (waaronder ook 

 segmenten van gegeven lijnen kunnen voorkomen), waarvan geen 

 twee opvolgende in eikaars verlengde kunnen liggen, zoodat ieder 

 snijpunt van een zijde van den veelhoek met een daarvan verschil- 

 lende gegeven lijn een hoekpunt van den veelhoek is. 



Daar binnen den veelhoek 8 <C C en daarbuiten 8 >• Cis, zoo 

 blijkt, dat de veelhoek zich bij grooter wordende C uitbreidt en de 



') Het eerste geval doet zich voor als S voor een der snijpunten van gegeven lijnen 

 een kleinere waarde heeft dan voor alle overige; het tweede geval als S voor twee snij- 

 punten (die noodzakelijk uiteinden van een zelfde segment van een gegeven lijn moeten 

 zijn) dezelfde waarde heeft, die kleiner is dan voor alle overige; het derde geval als S 

 voor drie snijpunten (die hoekpunten van een zelfde vak moeten zijn) dezelfde waarde 

 heeft en voor geen der overige snijpunten een kleinere waarde. 



Heeft men dit derde geval, dan krijgt men steeds het tweede geval door een lijn toe 

 te voegen, die gedeeltelijk in het minimum-vak verloopt; de min.-m. pi. wordt dan het 

 in dit vak gelegen segment der toegevoegde lijn. Omgekeerd zal natuurlijk het tweede 

 geval door weglating van de lijn, waartoe het minimale segment behoort, in het alge- 

 meen niet het nog meer hijzondere derde geval opleveren. Het tweede geval heeft men 

 h.v. hij drie gegeven lijnen, die een gelijkheenigen driehoek met tophoek < 60° vor- 

 men; laat men de gegeven lijn, waarlangs de hasis valt, weg dan krijgt men het 

 eerste ffeval. 



