DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 5 



vorige veel hoc ken. omgeeft. Hierbij verschuift iedere zijde evenwijdig 

 aan zich zelf, om, als het vak waarin ze ligt eindig is, in het 

 algemeen in een hoekpunt van dat vak te verdwijnen ; in het bij- 

 zonder kan het ook gebeuren, dat die zijde met een begrenzing 

 van het vak komt samen te vallen, in welk geval die zijde bij 

 grooter wordende 6' de begrenzing passeert en daarbij haar richting 

 behoudt. 



4. Aantal zijden van den veelhoek. 



Heeft G niet een zoodanige waarde, dat de veelhoek door een 

 snijpunt van gegeven lijnen gaat, dan zal een gegeven lijn den 

 veelhoek of niet of in twee punten (hoekpunten van den veelhoek) 

 snijden. Zijn er j gegeven lijnen, die gedeeltelijk binnen den veel- 

 koek verhopen l ), dan iê die veelhoek een 2j-hoek, dus een veelhoek 

 met een even aantal zijden. Daar de veelhoek bij uitbreiding steeds 

 nieuwe gegeven lijnen gaat snijden, zoo volgt, dat het aantal 

 hoekpunten van den veelhoek bij grooter wordende C niet af-, maar 

 wel toenemen kan; alleen op het oogenblik dat de veelhoek door 

 een snijpunt van gegeven lijnen gaat neemt dit aantal af en kan 

 oneven worden (doordat er dan verschillende gegeven lijnen zijn, 

 die hetzelfde hoekpunt van den veelhoek opleveren). 



Is i het aantal gegeven lijnen, die met de min.-m. pi, minstens 

 één punt gemeen, hebben, dan is de veelhoek onmiddellijk na zijn 

 o ut staan een 2 i-hoek 2 ), om als C grooter geworden is dan het 

 grootste bij een der gegeven lijnen behoorende minimum {maximum 

 mi ni mor urn) als 2n-hoek te eindigen. 



Wordt C grooter, dan blijft de veelhoek dezelfde hoeken be- 

 houden zoolang hij niet een snijpunt van gegeven lijnen passeert. 

 Passeert echter de veelhoek een snijpunt Q van j gegeven lijnen , 

 waaronder er k zijn, die niet gedeeltelijk binnen den veelhoek 

 liggen, dan trekken zich j — k — 1 zijden van den veelhoek tot 

 dat snijpunt samen, waaruit dan weer j -f- h — 1 anders gerichte 



*) Dus waarvan liet minimum kleiner dan C is. 



*) Is de min.-m. pi. een snijpunt van i gegeven lijnen, dan ontstaat, als C> M 

 wordt, een 2 (-hoek, die zich (totdat een ander snijpunt van gegeven lijnen bereikt 

 is) gelijkvormig vergroot met dat snijpunt als gelijkvormigheidspunt. Is de min.-m. pi. 

 een segment van een gegeven lijn door welks eindpunten U en /,- andere gegeven lijnen 

 gaan, dan ontstaat voor C iets grooter dan M een 2 (/( + />+ l)-hoek met twee niet 

 kleine zijden evenwijdig aan het genoemde segment, aan den eenen kant verbonden 

 door 2 /( , aan den anderen kant door 2/. kleine zijden. Is de min.-m. pi. een /(-hoekig 

 vak en gaan er door de hoekpunten van dat vak Jc lt fr,, ..., h jl gegeven lijnen, die 

 dat vak niet begrenzen, dan heeft de veelhoek onmiddellijk na zijn ontstaan /( niet 

 kleine zijden evenwijdig aan de begrenzingen van het vak, onderling verbonden door 

 groepen van 2^+1,2/^+1, . . . , 2 k h + 1 kleine zijden. 



