6 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



zijden ontstaan. Het aantal zijden is gelijk gebleven als k = 

 is, dus als de beide door Q gaande zijden van den veelhoek in 

 twee overstaande der 2 j om Q liggende vakken verloopen ] ). 



Is C zoo groot geworden, dat alle in het eindige liggende 

 snijpunten van gegeven lijnen binnen den veelhoek vallen, dan 

 liggen de zijden van dien veelhoek uitsluitend in zich naar het 

 oneindige uitstrekkende vakken, waarvan het aantal steeds 2n be- 

 draagt 2 ). Zijn er onder de gegeven lijnen geen evenwijdige, dan 

 hangen die 2 n vakken twee aan twee in het oneindige samen. 

 Een punt van zulk een vak en een punt van het in het oneindige 

 daarmede samenhangende vak liggen aan verschillenden kant van 

 alle gegeven lijnen, zoodat men in de verg. 2 + /, = C voor het 

 eene vak de teekens alle anders moet nemen dan voor het andere 

 vak, waaruit volgt dat de zijden van den veelhoek in beide vakken 

 evenwijdig zijn. Hebben dus alle gegeven, lijnen verschillende rich- 

 tingen en is C g rooter dan de grootste waarde, die S in een snij- 

 punt van gegeven lijnen aanneemt , dan is de veelhoek een 2 n-hoek, 

 waarvan de overslaande zijden evenwijdig zijn en in in het on- 

 eindige samenhangende vakken verloopen 3 ). 



§ 2. Het vhaagstuk in de ruimte. 



5 . A 1 g e m e e n e beschouwingen. 



Breidt men het in de vorige paragraaf behandelde vraagstuk tot 

 de ruimte uit, dan behoudt men de grootste analogie als men de n 

 gegeven lijnen door gegeven vlakken vervangt. De behandelingswijze 

 daarvan is nagenoeg dezelfde als van het vraagstuk in het platte vlak. 



') In het algemeen, is S op ieder der gegeven lijnen in één punt minimaal. De veel- 

 hoek ontwikkelt zich dan als vierhoek uit het minimum minimorum, dat minimum 

 voor twee gegeven lijnen is, terwijl de overige n — 2 minima slechts minimum vcor 

 één gegeven lijn zijn. Bij het passeeren van ieder dier n — '2 minimumpunten neemt 

 het aantal zijden van den veelhoek met 2 toe. Er zijn dus nog ^n(n — 1) — 1 — 

 (n — 2) = j(n — 1)(h — 2) snijpunten van gegeven lijnen bij het passeeren waarvan 

 het aantal hoekpunten van den veelhoek gelijk blijft. Dit aantal is gelijk aan dat 

 der eindige vakken, waarin het vlak door de gegeven lijnen verdeeld wordt; ieder 

 dier eindige vakken heeft een hoekpunt, waar de in dit vak gelegen zijde van den 

 veelhoek bij grooter wordende C verdwijnt; passeert de veelhoek zulk een hoekpunt, 

 dan blijft zijn aantal zijden gelijk. 



2 ) Het aantal zijden van den veelhoek is echter reeds eerder 2w geworden. 



3 ) Wordt C nog grooter, dan gaat de veelhoek steeds meer een bepaalden vorm 

 aannemen, nl. den vorm, dien de veelhoek direct verkrijgt als men de gegeven lijnen 

 evenwijdig aan zich zelf naar één punt verlegt. De veelhoek is dan een 2 n-hoek, die 

 de bijzonderheid vertoont, dat hij n diagonalen bezit, die door één punt gaan en elkaar 

 middendoor deelen. 



