DER l'UNÏEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 7 



We kunnen onderstellen, dat de gegeven vlakken niet alle aan 

 een zelfde lijn evenwijdig loopen, daar anders door het aanbrengen 

 van een vlak loodrecht op die lijn de vraag onmiddellijk tot de 

 overeenkomstige planimetrische teruggebracht is, zoodat men dan 

 als in. pi. het zijdelingsch oppervlak van een naar beide kanten 

 naar het oneindige loopend prisma vindt. 



Door de n gegeven vlakken V^ , V 2 , . . . , V n en het vlak in 

 het oneindige wordt de ruimte in ruimtevlakken verdeeld. Een 

 willekeurig snijvlak, dat ook met een der gegeven vlakken kan 

 samenvallen , wordt door die vlakken in vlakvakken en een wille- 

 keurige snijlijn, die ook in een of meer gegeven vlakken kan 

 liggen, in segmenten verdeeld. 



Door het aanbrengen van een snijvlak V wordt de vraag tot de 

 overeenkomstige planimetrische teruggebracht, waarbij echter aan 

 de snijlijnen van het snijvlak met de gegeven vlakken de positieve 

 coëfficiënten sin fa , sin^ 2 > ••■> s ^ n A« moc ten worden toegekend, 

 waarin |3,- de hoek is, dien V met V i maakt. Van de doorsnede 

 der meetkundige plaats met een willekeurig vlak V zal dus alles 

 gelden ivat we in de vorige paragraaf van de m. pi. behoorend bij 

 liet planimetrische vraagstuk gevonden //ebben. 



Ook kan men dooi' het aanbrengen van een snijlijn / de vraag 

 direct tot die in één dimensie terugbrengen, waarbij de snijpunten 

 met de gegeven vlakken weer van de coëfficiënten sin /3; moeten 

 worden voorzien, waarin nu /3, den hoek voorstelt, dien /met V t 

 maakt. Een lijn zal dus met de m. pi. twee punten gemeen 

 hebben als C grooter is dan het bij / behoorende minimum 3/' en 

 een punt van een gegeven vlak of een segment als C= M' is. 



Op deze wijze blijkt: 



Is C gelijk aan de kleinste waarde M, waarbij er nog éénpunt 

 is, dat aan de vraag voldoet, dan is de meetkundige plaats dei- 

 punten , waarvoor de som der absolute afstanden lot u gegeven 

 vlakken = C is, een snijpunt van gegeven vlakken x ) (algemeene 

 geval), een segment van een snijlijn van gegeven vlakken, een 

 vak van een gegeven vlak of een ruimtevak 2 ). Is C^>31, dan 

 is de m. pi. een gesloten convex veelvlak, waarvan de zijvlakken 

 vlakvakken zijn, zoodat de ribben in gegeven vlakken, de hoekpunten 



*) Onder een snijpunt van gegeven vlakken verstaan we een punt, waardoor minstens 

 drie niet door één lijn gaande vlakken gaan. 



2 ) Dit laatste geval doet zich voor als de som nul is van eenlieidsvectoren, die langs 

 de loodlijnen vallen uit een punt binnen dit ruimtevak op de gegeven vlakken neerge- 

 laten. Bij vier gegeven vlakken betcekent deze voorwaarde, dat de vlakken een 

 gelijkzijdig viervlak vormen, dus een viervlak, waarvan de overstaande ribben ge- 

 lijk zijn. 



