8 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



op snijlijnen van gegeven vlakken liggen. Gaat het veelvla/,- niet 

 door een snijpunt van gegeven vlakken en zijn er i snijlijnen van 

 gegeven vlakken, die gedeeltelijk binnen het veelvlak verhopen ] ), 

 dan heeft dit veelvlak 2i, dus een even aantal, hoekpunten. Wordt 

 C grooter, dan breidt het veelvlak zich uit, waarbij (overgangs- 

 gevallen uitgezonderd) het aantal hoekpunten gelijk blijft of toeneemt. 



6. Bijzondere eigenschappen van het veelvlak. 



Het veelvlak vertoont, in tegenstelling met een willekeurig veel- 

 vlak, deze bijzonderheid, dat het diagonaal vlakken (dit zijn dan 

 gegeven vlakken) bezit , die het oppervlak uitsluitend volgens ribben 

 snijden, en dat door iedere ribbe zulk een diagonaalvlak gaat 2 ). 

 Gaat het oppervlak niet door een ribbe van een ruimtevak , dan 

 wordt het veelvlak door ieder vlak, dat niet door de hoekpunten 

 gaat, volgens een veelhoek met een even aantal zijden gesneden. De 

 doorsnede met een gegeven vlak bezit een even aantal zijden als het 

 veelvlak niet door een in het beschouwde gegeven vlak gelegen snij- 

 punt van gegeven vlakken gaat. 



Zij Q een hoekpunt van het veelvlak, waardoor geen ribbe 

 gaat , die snijlijn van gegeven vlakken is. Gaan er i gegeven vlak- 

 ken door Q 3 ) , dan heeft ieder dier vlakken met het veelvlak 

 het punt Q of een veelhoek gemeen , daar door de gemaakte 

 onderstelling het geval is uitgesloten, dat het gegeven vlak met 

 het veelvlak een ribbe of een zijvlak gemeen heeft. Zijn er nu 

 onder de i door Q gaande gegeven vlakken j , die het veelvlak 

 doorsnijden, dan heeft het veelvlak 2j door Q gaande ribben, 

 zoodat in een hoekpunt van het veelvlak, waardoor geen ribbe gaat, die 

 snijlijn van gegeven vlakken is, een even aantal ribben samenkomen^). 



Gaat het veelvlak niet door een snijpunt van gegeven vlakken , 

 dan is het aantal ribben van hef veelvlak even; immers door ieder 

 der in even aantal aanwezige hoekpunten gaat een even aantal 

 ribben, waarbij we echter iedere ribbe tweemaal krijgen 5 ). Vol- 



') Dus waarvoor het minimum kleiner dan C is. 



') Door een ribbe gaan alleeu dan twee of meer zulke diagonaalvlakken als die ribbe 

 snijlijn van gegeven vlakken is. 



3 ) In het algemeen is natuurlijk i = 2. 



*) Is Q geen snijpunt van gegeven vlakken, maar een punt van een snijlijn van i 

 gegeven vlakken, dan is j = i. De ribben van den 2 ('-vlakshoek Q kunnen dan twee 

 aan twee door diagonaalvlakken worden verbonden, die alle door één lijn (de snijlijn 

 der gegeven vlakken, waarop Q ligt) gaan. 



5 ) Dat het aantal ribben even is blijkt ook daaruit, dat in ieder gegeven vlak, dat 

 het veelvlak snijdt, een door ribben van het veelvlak gevormde veelhoek met een even 

 aantal zijden ligt, terwijl zoo geen der ribben tweemaal geteld wordt. 



