DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 9 



geus de stelling van Euler is dan ook het aantal zijvlakken even. 

 Gaan //een drie gegeven vlakken door één lijn l ) en gaat het veel- 

 vlak niet door een snijpunt van gegeven vlakken, dan komen in 

 ieder hoekpunt van het reeltdak vier ribben samen. Liggen i snij- 

 lijnen van gegeven vlakken gedeeltelijk binnen het veelvla k, dan 

 heeft dit 2i hoekpunten, 4i ribben en dus 2 i -j- 2 zijvlakken . 

 Loopen bovendien geen twee gegeven vlakken evenwijdig , dan eindigt 

 het veel vlak met n (n — 1) hoekpunten, 2 n {n — 1) ribben 2 ) en 

 n (u — ■ 1 ) — | — 2 zijvlakken 3 ). 



§ 3. Met vraagstuk in ff, 



7. De meetkundige plaats is een convex polytoop. 



Bij de uitbreiding van het vraagstuk tot een ruimte 11,, van, d 

 dimensies worden de n gegeven vlakken door n gegeven ruimten R d -i 

 vervangen , waarvan we weer onderstellen kunnen , dat ze niet alle 

 evenwijdig aan een zelfde lijn loopen , daar anders de vraag onmid- 

 dellijk tot die in d — 1 dimensies kan worden teruggebracht. Men 

 heeft dus noodzakelijk n ^> d, daar anders een lijn evenwijdig aan 

 alle gegeven ruimten li,,_ i steeds te vinden is. 



De m. pi. is nu de uit stukken van lineaire ruimten B a _^ be- 

 staande begrenzing van een convex polytoop, dat de bijzonderheid 

 vertoont diagonaalruimten B { (« = 2, 3, . . ., d — 1) — dit zijn dan 

 snijruimten li i van gegeven ruimten 4 ) — te bezitten , die het polytoop 

 uitsluitend volgens (i — ■ 1 )- dimensionale grenspoly lopen snijden. Bij 

 dergelijke uitbreidingen van vroeger gevonden eigenschappen, die 

 zonder meer uit het voorgaande zijn af te leiden, zullen we hier 

 echter niet langer stil staan. 



8. Aantal grenspolytopen voor kleine en groote 



waarden van C. 



In het volgende zullen we ons beperken tot het algemeene geval, 

 dat geen d -j- 1 gegeven ruimten. li,,_ { door een zelfde punt gaan, 

 geen der snijpunten van d gegeven ruimten in het oneindige ligt en 



') Voldoende is, dat geen der lijnen, waardoor drie of meer gegeven vlakken gaan, 

 gedeeltelijk binnen het veelvlak verloopt. 



2 ) Dit aantal vindt men ook daaruit, dat ieder der n gegeven vlakken het veelvlak 

 volgens een 2 (n — 1)- hoek snijdt. 



*) Dit aantal vindt men ook als het dubbel van het aantal zich naar het oneindige 

 uitstrekkende ruimtevakken. 



*) Onder een snijruimte Ft, van gegeven ruimten verstaan we een 7? ; , waardoor min- 

 stens d — i niet door één U i , f gaande gegeven ruimten E (l _ ^ gaan. 



