1 O OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



de som S der absolute afstanden tot de gegeven ruimten voor geen 

 twee uiteinden van een zelfde segment eener snij lijn van d — 1 ge- 

 geven ruimten dezelfde waarde aanneemt 1 ). 



De 111. pi. begint zich dan voor een zekere minimale waaide 

 M van C uit een snijpunt van d gegeven ruimten R d _ { te ont- 

 wikkelen als een polgtoop met 2' + ' [d) l + , grenspolytopen {simplexen) 

 van i afmetingen; dit polytoop verschilt alleen daarin van het regel- 

 matige Iruispolgtoop (de reciproke figuur van het maatpolytoop) , 

 dat de d assen van het kruis geen rechte hoeken behoeven te 

 vormen. Het polytoop blijft denzelfden vorm behouden totdat een 

 tweede snijpunt van d gegeven ruimten R d _ x bereikt wordt. 



Is C zoo groot, dat alle snijpunten van d gegeven ruimten 

 R d { binnen het polytoop liggen en dus de begrenzende ruimten 

 R d _i daarvan uitsluitend in oneindige ^/-dimensionale vakken ver- 

 loopen, dan is het aantal /-dimensionale grenspolytopen (i = , 

 1, 2, . . ., d — 1) der in. pi. gemakkelijk aan te geven. Zulk 

 een grenspolytoop G t ligt nl. geheel in een snijruiuite R i + i van 

 d — i — 1 gegeven ruimten R d _^. Nu is het aantal dier snijruimten 

 R i + i gelijk aan (#)<*— i-i- Teder dier snijruimten R l + { wordt dooi- 

 de n — d -f- / -\- ] gegeven ruimten R dl , die er niet door gaan, 

 gesneden volgens n-- - d -\- i -\~ 1 ruimten R t , waardoor de R l + A 

 in (n — d-\- i) t + , eindige vakken en 2 \ (u — ■ d-\- i), -\- (n — d-\- /), _ , -\~ 



-\- -j- (n — d -f- i\ -\- 1 ! twee aan twee in het oneindige 



samenhangende vakken verdeeld wordt 2 ); in ieder dier oneindige 

 vakken ligt een /-dimensionaal grenspolytoop G t der in. pi., zoodat 

 het aantal dier grenspolytopen G t 



') Voor verschillende eigenschappen is echter een minder ver gaande heperking vol- 

 doende. 



2 ) Een ruimte R d wordt door n willekeurig in die ruimte gelegen ruimten R (l _ | in 

 (» — 1) (/ eindige vakken verdeeld, zooals zich gemakkelijk door volledige inductie laat 

 aantoonen. De formule is nl. juist voor n = d + l en bij willekeurige ra ook voor 

 d = l. Neemt men nu de juistheid der formule aan als men n door n — 1 of d door 

 cl — 1 vervangt, dan weet men, dat R d door n — 1 ruimten R d —1 in (u — 2)d eindige 

 vakken verdeeld wordt. Brengt men nu de n^e ruimte R d _f aan, dan wordt deze 

 R,i — \ ^ 00r ^ e n — ^ overige ruimten R d _\ vclgens ra — 1 ruimten R d _- 2 gesneden 

 en daardoor in (ra — ^)d — i eindige (d — l)-dimensionale vakken verdeeld. Door die 

 laatste R d _ t wordt dus van (n — 2) (/ _ 1 eindige of oneindige vakken een eindig stuk 

 afgesneden, zoodat het aantal eindige vakken (ra — 2) d -f- (n — 2) d _ ^ = (n — l) d wordt. 



Het totale aantal vakken (twee in het oneindige samenhangende vakken voor één 



vak gerekend) bedraagt (ra — l) d + (ra — 1) (/ _ 1 + (ra — 1),/ - 2 + + (« — l)i + 1- 



Immers neemt men de juistheid dier formule (die geldt voor d = l) voor d — 1 dimen- 

 sies aan, dan wordt de oneindig verre ruimte R d _\ der Ra in (n — ■l) d _ i -i- 

 -f- (ra — l) d _o + + ( n — l)i +1 vakken en dus de R d in even zoovele het on- 

 eindige snijdende vakken verdeeld. Gevoegd bij de (ra — 1) (/ eindige vakken geeft dit 

 voor het totale aantal vakken (ra — 1)^ + (ra — l) d _ i -\- +1. 



