DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 11 



2 (»)„_., _!!(«— rf+iX-H*— «H-Oi-i+ + (»— </+Oi+i| 



bedraagt. Door toepassing der formule (^- — 1), -|- (k -- 1),„ , = (/•), 

 pmt/l men voor het aantal grenspolytopen G i : 



+ (»— rf+* + i).--4+ i = 



= 2 | (d - 1 ) ( («), _ , + (rf— 8), _ 2 (a) d _ 3 + 



waarbij de laatste term tusschen accoladen [d — i) y (fi) d _ i is voor 

 i oneven en (n) d _ i _ i voor i even. 



9. Aantal grenspolytopen voor willekeurige C. 



In de boven gevonden uitdrukking voor het aantal der grens- 

 polytopen G it die alleen voor voldoend groote waarde van C geldt, 

 is (n)d—i het aantal snijlijnen van d — 1 gegeven ruimten R d —\.* 

 (#)d_3 ne t aantal snijruimten i£ 3 van d — 3 gegeven ruimten, enz. 

 Heeft daarentegen C een zoo kleine waarde, dat slechts één snij- 

 punt van gegeven ruimten S d _ i binnen het polytoop (vervormd 

 kruispolytoop) ligt, dan is het aantal grenspolytopen G, 



2' + '( â 0,. + 1 = 2(r/K 1 |(/+l) 1 + (/+l) ;! + (^+l), + } = 



= 2{(d— l) i (.cl) d _ ± + (d—S) i _ 2 {d) d _ 3 + 



+ (^-B),- t (^-.+ }• 



Hierin is (d) d _ l het aantal gedeeltelijk binnen het kleine polytoop 

 verloopende snijlijnen van gegeven ruimten M d _ 4 , (d) d _ 3 het aantal 

 snijruimten -S3 1 ), die dat polytoop snijden, enz. Door de uitdruk- 

 king voor het aantal grenspolytopen G t voor groote waarde van C 

 te vergelijken met die voor kleine waarde van C, vindt men, dat 

 bij toenemende waarde van C het aantal grenspolytopen G { met 

 (d — l)j vermeerdert voor iedere snijlijn van gegeven ruimten, die 

 gedeeltelijk binnen het polytoop komt, met (d — 3),_ 2 voor iedere 

 snijruimte R z , die door het polytoop bereikt wordt, enz. Is dus q • 

 liet aantal gedeelte lijk binnen liet polytoop verloopende snijruimten 

 JRj 1 ), dan is, als het polytoop niet door een snijpunt van gegeven 

 ruimten R a _ { gaat, het aantal N- t der grenspolytopen G { : 



N i =2{(d—l) iSl + (d—3) i _ 2 ç 3 + (d—5) i _^ !i + ] 2 ). 



x ) Onder een snijruimte R verstaan we de doorsnede van d — j gegeven ruimten 



R d-\. 



*) Voor het aantal hoekpunten geeft dit N = 2q t , iets dat onmiddellijk is in te zien. 



Voor het aantal ribhen vindt men h\ = 2 (d — V)q l =z{d — 1)2V , zooals ook direct 

 daaruit volgt, dat door ieder hoekpunt 2 {d — 1) ribben gaan. 



