12 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



Voor i = d — 1 en d oneven is de laatste term tusschen aceo- 

 laden q d , welke grootheid, blijkens de afleiding der formule, als 

 = 1 moet worden opgevat, hetgeen trouwens geheel met de betee- 

 kenis van q t in overeenstemming is. 



Het blijkt dus, dat men voor de berekening der aantallen grens- 

 polytopen slechts de qs met oneven index behoeft te kennen. 



Men verifieert gemakkelijk , dat met de gevonden waarden voor 

 Nj aan de meerdimensionale uitbreiding van het theorema van 

 EüLER , nl. : 



l— jV _ i -iyr 1 _iv 2 + _L. ( _ iy < ;v ( , _.! + (— ïy' + '^o, 



voldaan is. Dit levert dus een controle. 



10. Strengere afleiding d e r f o r m u 1 e v o o r h e t a a n t a 1 

 grenspolytopen. 



In de formule voor N L is (d — j) i + l _i het aantal snijruimten 

 Ji i + [ 1 ), dat door een bepaalde snijruimte Rj kan worden aangebracht. 

 In de uitdrukking voor iV, kan dus de term (d — j) i + i _jÇj als 

 een aantal snijruimten B i + i worden o]>gevat (nl. de snijruimten 

 B i + i door de gedeeltelijk binnen het polytoop verloopende snij- 

 ruimten Ml), waarbij ieder dier snijruimten zooveel maal geteld 

 wordt als het aantal gedeeltelijk binnen het polytoop verloopende 

 snijruimten Mj bedraagt, die in deze snijruimte M i + i gelegen zijn. 

 Stellen we dit aantal voor een bepaalde snijruimte M i + l door h 

 voor, dan komt deze M i+l in de geheele uitdrukking voor N { 



2 (/-, + X-3 + k 5 -f )- 



maal voor, zoodat voor het aantal der grenspolytopen G-, ook kan 

 geschreven worden 



^ = 22(^ + ^ + 4 + ); 



hierin moet de sommeering over alle snijruimten R l + i (of zoo men 

 wil alleen over die snijruimten M i + i , die gedeeltelijk binnen het 

 polytoop verloopen) worden uitgestrekt. 



Is i = d — 2, dan zijn de snijruimten JR i + i , waarover cle som- 

 meering moet worden uitgestrekt, de gegeven ruimten B d _ i . Is 

 i = d — 1, dan levert de oorspronkelijke uitdrukking voor N t 



iV d _i= 2(ft + # + ?B-|- )> 



hetgeen met de laatst gevonden formule voor iV^ in overeenstem- 

 ming is als we onder een snijruimte B a de operatieruimte verstaan. 



*) Zie noot 1 van blJz. 11. 



