DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 13 



In den laatsten vorm kan men de formule voor N, (waarvan we 

 in liet vorige nummer een minder strenge afleiding gegeven hebben 

 door de uitdrukkingen bij kleine en groote waarde van G met 

 elkaar te vergelijken) gemakkelijk door volledige inductie aantoonen. 

 Ieder grenspolytoop G t ligt nl. (als volgens de onderstelling de 

 in. pi. niet door een snijpunt van gegeven ruimten gaat) in één 

 en slechts één snijruimte R i + i . Is nu i <C d — 1, dan kunnen 

 we voor zulk een snijruimte JR i + i (met minder dan d afmetingen) 

 de formule, die klaarblijkelijk juist is voor d = 2 , als bewezen 

 beschouwen. Voor het aantal grenspolytopen G i} die in deze S i + i 

 liggen , vindt men dan 



2 (*, + * :| + *> + ), 



tlus voor het totale aantal grenspolytopen G, 



a-ste + *, + *» + )• 



Is op deze wijze de juistheid der formule voor alle waarden van 

 i, die kleiner dan d — 1 zijn, aangetoond, dan volgt de juistheid 

 der formule voor i = d — 1 uit het meerdimensionale theorema 

 van EvLEit, daar reeds gebleken is dat de gevonden uitdrukkingen 

 voor iV,- met dit theorema in overeenstemming zijn. 



Hiermede is het volledige bewijs der volgende eigenschap geleverd: 

 In R d is de meeth. pi. der punten, waarvan de som der absolu f e 

 afstanden tot n willekeurig 1 ) gegeven ruimten li d _ x een willekeurig x ) 

 gegeven waarde G heeft, voor voldoend groote waarde van G de 

 begrenzing van een convex polgtoop, waarvan het aantal i-dimensio- 

 nale grenspolytopen G t voor i even gelijk is aan 



N t = %\{d— l), fl + (d— 3),_ 2 ?3 + 



-\-(d— 5) t _ 4 fc -f- + («*—*' + 1)801-1 + SV+i} 



en voor i oneven aan 



N, = 2 {(d— 1), q x + (d— 8),. _ 2 q- è + 



+ (rf— 5) 4 _4?5+ J r(d—i^ r 2) 3 ç i _ 2 -^(d—i\a l } 2 ). 



Hierin is q t het aantal gedeeltelijk binnen het polytoop verhopende 

 snijrnimien R, van d — j gegeven ruimten R d -\, terwijl q d = 1 is 3 ). 



') Uit het voorgaande is voldoende duidelijk wat hier onder „willekeurig" te verstaan is. 

 a ) Beide formules kan men samenvatten tot 

 iV ; = 2i(ri-l),r/ 1 + (d-3) ( _ 2 ry y + -\-(d— i' + 2) i _ i , +3 g i ,_ 2 + (d— i*)j_i'+lffi'*i 



waarin i' het kleinste oneven getal is, dat niet kleiner is dan i. 



3 ) q is dus het aantal snijruimten R-, waarvoor de minimumwaarde van S kleiner 

 dan C is. Ook hieruit blijkt, dat q d als l moet worden opgevat, daar er slechts één 

 snijruimte B (l is, nl. de operatieruimte, en daarvan het minimum volgens de onderstelling 

 kleiner dan C is. 



