14 



OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



11. Betrekkingen tusschen de aantallen grenspolytopen. 



Uit de gevonden formule voor N-, blijkt, dat de aantallen iV, , 

 iV 3 , N 5 , enz. uit de aantallen N Q , N 2 , iV 4 , enz. kunnen worden 

 berekend, terwijl bovendien als d oneven is N d _ i uit N 0> N 2 , 

 iV 4 , ...., N a _ 3 kan worden gevonden. Uit de formules voor 



Nq, N 2 , 7V 4 , , N 2i , 2V 2i+1 de grootheden q v q s , q h , , # 2i + 1 



elimineerend, vindt men door dej?' de rij (/' = 1, 2, 3, . . . ., i -J- 1) 

 van den determinant met [d -\- 1 — 2/') 2 , + 3 _ 2j te vermenigvuldigen 

 en de j -j- l stl ' kolom door hetzelfde getal te deelen : 



^5 = 



N 1 = {d—l\N 0l 



{d-\\N 1 

 Cd— 3\N 2 (5) 2 1 

 (d— 5), 7V 4 4 2 



iV. 



iv; 



(^-1)3^0 



] 



2 



y 





(rf_ l) 7 jv 



(d—S\N 2 

 (d— 5) 3 iV 4 

 (d—7\N 6 



1 



(7: 

 œ 



6 



1 



2 1 



4 ( 5 ) 2 



4 







ü 

 1 



2 



^9 = 



(d—l\N 10 



(d—2>\N 2 (9) 2 1 



(d—b) 5 N 4 (9) 4 (7) 2 1 



[d— 7) 3 2V 6 (9) 6 (7) 4 (5) 2 1 



(rf— Q^iVg 8 6 4 2 



enz. 



Hieruit volgt: 



^=(^—1)^0, 



i^=(rf — 8), N 2 —A x (d—l) 3 N , 



N 5 =(d—Z\ N—A x {d—$\N 9 +A 2 {d—\\N Qt 



JV 7 ={d—l\ Ni—A x (d—^N^A^d—S^^—J^d—l^N^em., 



waarin : 



A, 



2, 



A 



(5) 2 1 

 4 2 



= 16 



^4 = 



(9) 2 1 







(9) 4 (7) 2 1 







(9) 6 (7) 4 (5), 



,1 



8 6 4 



2 



== 7-936, 



(7) 2 1 







(7) 4 (5) 2 



1 



6 4 



2 



A= 



A 



(11) 2 1 

 (11) 4 (9) 2 1 

 (11) 6 (9) 4 (7) 2 1 

 (H) 8 (9) 6 (7) 4 (5) 2 1 

 10 8 6 4 2 



= 272, 



= 353792, 

 enz. *). 



') Deze coëfficiënten kunnen gemakkelijk berekend worden door op te merken, dat 

 men heeft: 



A 3 - (7), A, - (7), A x + 6,A h = (9), A t - (9\ A 2 + (9). 4, - 8, 

 J. = (11), A k - (11) 4 4, + (11). i4, - (11). il, + 10, enz. 



