1 8 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



echter , die in meer dan een , maar niet in alle teekens verschillen , 

 kunnen niet samenhangen 1 ), maar elkaar wel doorsnijden. 



14. Het blad, waar de absolute som gelijk aan C is. 



Het oppervlak heeft alleen dan een bestaanbaar blad, voor welks 

 punten de som der absolute afstanden = C is, als C een zekere ' 

 minimale waarde overschrijdt. Van dit blad kan gemakkelijk worden 

 aangetoond, dat het gesloten en convex is. 



Daartoe beschouwen we weer het verloop der functie S (de som 

 der absolute afstanden a l , a 2 , . . ., a n tot de gegeven lijnen) op 

 een willekeurige rechte /. Een punt P laten we de lijn / doorloopen 

 en wijzen de plaats van P door OP = p aan , waarin O een vast 

 punt van / is. Ts nu /:, de kortste afstand en /3, de hoek (lei- 

 lijnen / en /, , dan heeft men : 



dS _ . a K^-X 2 



— = E sin (i, . — , 



dp a, 



waarbij men den negatieven wortel nemen moet voor de lijnen , 

 waartoe P nadert, den positieven wortel voor lijnen, waarvan P 



f] V 

 zich verwijdert. Hieruit blijkt, dat voortdurend toeneemt van 



- — 2 sin /3, tot -|- S sin /3, en dus S in één punt van / minimaal 

 is. Is die minimale waarde kleiner dan C, dan heeft /met het blad, 

 waarvoor S= C' is, twee en niet meer dan twee punten gemeen. 



We vinden dus: 



De meetkundige plaats der punten in de ruimte, waarvan de som 

 der absolute afstanden tot n gegeven rechten een gegeven waarde C 

 heeft, is voor voldoend groofe waarde van. C een eindig gesloten 

 convex blad van een algebraïsch oppervlak. Binnen dit blad is de. 

 som der absolute afstanden kleiner , daar buiten grooter dan C. 



15. Graad en vergelijking van het oppervlak. 



De graad van het oppervlak laat zich door toepassing van het 

 beginsel van het behoud van het aantal gemakkelijk bepalen, nl. 

 door de gegeven rechten alle in hetzelfde vlak te kiezen. De 



L ) Tenminste in liet algemeen niet. In het eindige kunnen ze samenhangen als de 

 gegeven lijnen, waarop de verschillende teekens betrekking hebben, door één punt gaan 

 en dit punt op bet oppervlak ligt. In het oneindige is samenhang alleen mogelijk als 

 de gegeven lijn of lijnen, waarop de overeenstemmende teekens betrekking hebben, alle 

 door een zelfde punt in bet oneiudige van het oppervlak gaan. 



