DER PUNTEN IN TIET PLATTE VLAK, ENZ. 19 



doorsnede van het oppervlak met dat vlak wordt dan gevormd door 

 2" rechten, die worden voorgesteld door de vergelijkingen 



+ l x ± l 2 ± ±l n =0 



als l x = 0, 4 = 0, enz. de normaalvergelijkingen der gegeven 

 rechten zijn. Hieruit volgt, dat het oppervlak van den graad 2 n 

 is 1 ) ook als de gegeven lijnen niet al Ie in hetzelfde rial,- gelegen zijn 2 ). 

 Ook uit de verg. van het oppervlak laat zich de graad gemak- 

 kelijk bepalen. De vergelijking verkrijgt men in rationalen vorm 

 door de 2" irrationale vergelijkingen 



+ \y u x u x ' + }/^2 u 2 àl i \^ w n u n' — C = 



met elkaar te vermenigvuldigen; ieder der irrationale factoren is 

 van den graad 1 , het rationale product dus van den graad 2" 3 ). 

 Stellen we het product u } u' door v t voor, dan wordt de ratio- 

 nale vergelijking: 



(jon + £2»-2 y, ^ _|_ (JP-Afi ( y .) _|_ ^_ 



+ ^ 2 /2-1-i fa) — [/ 2 «-2 (VÙJ = 4 ) ; 



hierin is / ; (y ; ) een van C onafhankelijke homogene functie van den 

 yden g Taa( | [ n v ^^ v ^ } ^ y^ } ( j us een f ullc tie van den 2 j> den graad 



in de coördinaten. Dat in de vergelijking alleen even machten van 

 C voorkomen en dat de termen, die C niet bevatten, een zuiver 

 vierkant vormen , blijkt door bij het vermenigvuldigen telkens 

 twee factoren , die in alle teekens der wortelvormen verschillen , 

 samen te nemen. Op geheel dezelfde wijze blijkt, dat in de verg. 

 alleen even machten van |/»i voorkomen (dus dat de verg. werkelijk 

 rationaal is) en dat de termen , die een der grootheden v t niet be- 

 vatten, een zuiver vierkant vormen. 



*) Is een der 2 n vergelijkingen ± l ± ± ... ± l n = C een identiteit, dan behoort het 

 geheele vlak der gegeven lijnen tot het oppervlak en wel tweemaal; de graad van het 

 overige gedeelte der m. pi. wordt dan met twee verlaagd. Het kan echter ook gebeuren, 

 dat de vergelijking voor verschillende teekencombinaties een identiteit wordt, in welk 

 geval het vlak zich meerdere malen afsplit&t. 



*) In bijzondere gevallen kan de graad door afsplitsing van het oneindig verre vlak 

 lager worden. Zie hierover § 7. 



3 ) Men vergelijke: Cayley, On polyzomal curves, otherwise the curves V U + V 'V -f- 

 + &c. = 0, Trans, of the IL S. of Edinburgh Vol. 25 (18<>8), />. 1—110; Coll. Math. 

 Papers Vol. 6, p. 470 — 57(5. Zijn (7, V', enz. functies van den ràcn graad in de homo- 

 gene coördinaten ,r, y, z, en is v het aantal termen, dan stelt de verg. een kromme 

 van den graad 2 ~~ r voor (art. 3 en 4). 



') Voor n = 1 is het oppervlak nog wel van den graad 2" — 2 , maar de termen , die 

 C niet bevatten, vormen dan niet meer een zuiver vierkant. 



E 2* 



