20 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



§ 5. De singuliere krommen van het oppervlak. 



In alle volgende beschouwingen zullen we ons, tenzij het tegen- 

 deel uitdrukkelijk gezegd wordt, beperken tot het algemeene geval, 

 dat uit den aard der zaak moeilijk nader te omschrijven is. Alle 

 resultaten zullen dus in bijzondere gevallen een wijziging kunnen 

 ondergaan, waarmede we ons hier echter niet bezig zullen houden. 

 Alleen zal steeds het bijzondere geval 6' = aan een afzonderlijk 

 onderzoek worden onderworpen. 



1 G . Dubbel k r o m m e in het oneindige. 



Voor een punt in het oneindige is in het algemeen de algebraï- 

 sche som der afstanden tot de gegeven lijnen , welke teekencombi- 

 natie we ook kiezen, oneindig groot. Is die algebraïsche som eindig J ), 

 dan zal de grootte dier eindige waarde afhangen van de wijze, 

 waarop we een punt uit het eindige tot het oneindig verre punt 

 laten naderen. Hieruit blijkt, dat de kromme in het oneindige van 

 hef oppervlak niet van de waarde van C afhangt, hetgeen ook on- 

 middellijk uit de vergelijking van het oppervlak volgt. 



De kromme in het oneindige is dus dezelfde als die van het 

 oppervlak voor C= 0, dus van het oppervlak 



dit oppervlak is van den graad 2"~', daar men nu bij het herleiden 

 van de verg. tot den rationalen vorm aan een der wortelvormen , b.v. 

 \/v x , steeds hetzelfde teeken kan toekennen, waardoor slechts 2" _l 

 irrationale factoren ontstaan. De kromme in het oneindige van het 

 oppervlak voor C > is dus van den graad 2 n_1 , m. a. w. het vlak in 

 het oneindige snijdt dit oppervlak volgens twee samenvallende krommen. 

 Dat we met een dubbelkromme en niet met raking aan het vlak 

 in het oneindige te doen hebben, blijkt uit de rationale vergelijking 

 van het oppervlak, die we in n°. 15 hebben neergeschreven. 

 Maakt men die verg. homogeen door invoering van een grootheid 

 r en noemen we de zoo verkregen vergelijking F(œ,y, z, t) = 0, 

 dan vindt men voor een punt in het oneindige (r = 0,/ 2 n—2(v i )= 0) 



f=o.^=o.f=o, 



dx dg dz 



(lus : 



') Dit is het geval als voldaan is aan 



sin @ x ± sin f3, ± ± sin (3^ = 0, 



waarin /3- de hoek is, dien de richting van het oneindig verre punt met de gegeven 

 lijn h maakt. 



