DEE PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 21 



De k routine in hel oneindige ran het oppervlak is eeu dubbelkroninie 

 van <len graad £ n-11 ) 2 ). 



Daar de kromme in het oneindige slechts van de termen van den 

 hoogsten graad van / 2 n-2 (>,) afhangt, zoo blijkt direct, dat de 

 dubheikromme in het oneindige niet verandert als men de gegeven 

 lijnen evenwijdig verschuift, dus dat die kromme alleen van de 

 richtingen der gegeven lijnen afhangt. 



17. Kro m m e n v a n a a n r a k i n g. 



In ieder punt van een door een gegeven lijn /, gaand isotroop 

 vlak Uj is de afstand tot /, gelijk aan nul, zoodat de doorsnede 

 van u, met het oppervlak dezelfde is als de doorsnede van u, met 

 het bij de overige u — 1 gegeven lijnen behoorende oppervlak. Dit 

 laatste oppervlak is echter van den graad 2 n_1 , zoodat de doorsnede 

 van u, met het oorspronkelijke (bij de n lijnen behoorende) oppervlak 

 van den graad 2" in twee samenvallende krommen van den graad 

 2"- 1 ontaardt. 



We hebben hier echter niet niet een dubbelkroninie te doen, 

 maar niet raking aan het isotrope vlak. Dit blijkt door de ver- 

 gelijking van het oppervlak in den volgenden rationalen vorm te 

 schrijven: 



F( X g^^(;u l u;r~ l + (n l u;f- ] - i / l ^(u l u'r- l '\r 2 J r + 



-f- U, Kj'/jn-l.! — [/ 2 n-2] 2 = , 



waarin f i een homogene functie van den graad y in v { , v 2 , . . . ., 

 v,_\, t', + i, . . . ., v n 3 ) en C 2 is. Voor ^=0, f 2 n— 2 = heeft men: 



dF , duj dF , du, dF , . du, 



dx _l dx' dg ~' dg' dz ~ ' dz' 



waaruit volgt, dat het raakvlak in een punt der doorsnede met u, 

 het vlak u, zelf is. We vinden dus: 



liet oppervlak raakt aan ieder der 2 n isotrope vlakken door de 

 gegeven lijnen volgens een kromme van den graad 2 n ~ 1 4 ). 



') Hiervoor moet echter n minstens 2 zijn. 



2 ) Gaat een punt langs een bestaanbaar blad door het vlak in het oneindige heen, 

 dan keeren de teekens van alle afstanden om. Voor het andere door de dubbelkroninie 

 gaande blad zijn aan denzelfden kant van het oneindige alle teekens anders dan voor 

 bet eerste blad, zoodat men oin dezelfde teekens te behouden bij het passeeren van het 

 oneindige niet op de analytische voortzetting van bet blad, maar juist op het andere 

 hl a il moet overgaan. 



3 ) Hierin is i\ — w, u t ', c 2 = u., « 2 ', enz. 



*) Dit geldt ook reeds voor n = \. De kromme van aanraking is dan de lijn in het 

 oneindige van het isotrope raakvlak. 



