22 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



Deze isotrope vlakken zullen we de singuliere raakvlakken noe- 

 men, de krommen volgens welke ze het oppervlak aanraken de 

 krommen van aanraking. Het zal dikwijls voorkomen , dat de 

 krommen van aanraking met twee toegevoegde (door een zelfde 

 gegeven lijn gaande) singuliere raakvlakken tegelijkertijd beschouwd 

 worden. Beide krommen te zamen noemen we dan de volledige 

 kromme ran aanraking, terwijl we ter onderscheiding de krommen , 

 waaruit deze bestaat, de afzonderlijke krommen van aanraking 

 noemen 1 ). 



18. Kegelpunten van het oppervlak. 



Ieder der gegeven lijnen snijdt het oppervlak in 2" -1 punten 

 (die dus alle dubbel tellen), nl. in de snijpunten met het bij de 

 overige gegeven lijnen behoorende oppervlak van den graad 2" _1 . 

 Hieruit blijkt, dat een kromme van aanraking de in het singuliere 

 raakvlak gelegen gegeven lijn in 2 n ~ x punten snijdt en dus niet 

 aanraak/. 



In een snijpunt Q met een gegeven lijn /, wordt het oppervlak 

 door de beide door /, gaande isotrope vlakken aangeraakt, waaruit 



volgt : 



Ieder der n gegeven lijnen snijdt hel oppervlak in 2" ~ ' kegel- 

 punten 2 ), waarvan de r aakkegels aan de heide isotrope vlakken dooi- 

 de gegeven lijn raken; m. a. w. zulk een raak keg el wordt door een 

 vlak loodrecht op de gegeven lijn, waaróp het kegelpunt ligt, ge- 

 sneden volgens een kegelsnede 3 ), waarvan een der brandpunten op de 

 gegeven lijn ligt 4 )- 



In zulk een kegelpunt hangen, als het bestaanbaar is, twee 

 bladen van het oppervlak samen behoorende bij teekencombinaties, 

 die alleen in het teeken van den afstand tot de gegeven lijn, 

 waarop het kegelpunt ligt, verschillen. In hel geheel heeft het 

 oppervlak n2 n ~ x zulke geïsoleerd liggende kegelpunten, waarvan er 



') Cayley (1. c. art. 13 — 19) toont aan, dat een „v-zomal curve" V U -\- \/ V -\- ... = 

 door ieder der krommen f/ = 0, V = 0, enz., die hij „zomal curves' noemt, in 2 " r (dus 

 in al hare snijpunten) wordt aangeraakt en wel door f/=0 in de snijpunten van de 

 „zomal curve" U = met de „antizomal curve" V V -\- ■ • ■ ■ = 0. 



2 ) Dat een snijpunt met een gegeven lijn l i dubbelpunt is, blijkt ook uit de verge- 

 lijking van het oppervlak in den vorm, dien we daaraan in n°. 17 gegeven hebben. Immers 



is behalve v- en f „«-2 = ook nog u' — 0, dan worden — , — en — - alle nul. 

 1 ' z ° ' dx dy dz 



3 ) Is het kegelpunt bestaanbaar, dan kan deze. kegelsnede zoowel een ellips als een 

 hyperbool zijn. Zie n°. 19. 



") Al deze resultaten gelden ook nog voor n = l. Er is dan slechts één kegelpunt, 

 dat in het punt in het oneindige der gegeven lijn ligt. 



