DEK PUNTEN LN HET PLATTE VLAK, ENZ. 25 



voldaan is en beide teekencombinaties in meer dan één teeken ver- 

 schillen; immers dan is bij het passeeren van het punt op een zelfde 

 blad geen overgang van de eene teekencombinatie tot de andere 

 mogelijk, zoodat door het punt twee bij verschillende teekencom- 

 binaties behoorende bladen moeten gaan. 



Zijn t'j , v 2 , ■ ■ ■ , V; de radicalen der in tecken verschillende 

 wortelvormen , terwijl de overige teekens overeenstemmen, dan vol- 

 doet het punt der dubbelkromme aan de vergelijkingen 



V^ + V^-h -f-V^ = (t=2,8, ,n — 2oïn—l), 



waarvan de eerste een oppervlak van den graad 2' -1 , de tweede 

 een oppervlak van den graad 2""' voorstelt. De snijkromme dier 

 oppervlakken, die dus van den graad 2" _1 is, is een dubbelkromme 

 van het oppervlak. De graad dier dubbelkromme is onafhankelijk 

 van de wijze waarop men de som der wortelvormen in tweeën 

 breekt. 



Voor het aantal der dubbelkrommen vindt men: 



(n\ -f (n\ + (n\ -f + (») B _, = 2" — n — 2, 



zoodat het resultaat is: 



De in het eindige gelegen dubbelkromme van het oppervlak bestaat 

 uit 2 n — n — 2 krommen van den graad 2 ll ~ il ). 



l ) Is n = 3, Jan heeft het oppervlak drie dubbelkrommen van den vierden graad. 

 Ieder dier dubbelkrommen is de doorsnede van een omwentelingscylinder, die een dei- 

 gegeven lijnen als as en een straal C heeft, met de hyperbolische paraboloïde, die de 

 m. pi. is der punten, waarvan de afstanden tot de beide andere gegeven lijnen gelijk zijn. 



In het geval van fig. 1, waar de drie gegeven lijnen in één vlak V liggen, degene- 

 reert de hyperbolische paraboloïde der lijnen / 2 en / 3 in de beide vlakken door de deel- 

 lijnen van den hoek (Z 2 , / 3 ) loodrecht op V aangebracht, zoodat ieder der krommen van 

 den vierden graad in twee elkaar tweemaal snijdende ellipsen ontaardt, waarvan de 

 vlakken loodrecht op elkaar staan; de snijpunten der ellipsen op den cylinder / x liggen 

 op de loodlijn in het punt (I 1 , / 3 ) op V opgericht. Men ziet onmiddellijk, dat een 

 loodlijn in het middelpunt van een in- of aangeschreven cirkel van driehoek /, l. L I 3 op 

 V opgericht de drie cylinders in dezelfde twee punten snijdt, waaruit blijkt, dat op 

 vier manieren drie op verscbillende cylinders gelegen dubbelellipsen zijn aan te wijzen, 

 die twee gemeenschappelijke punten hebben. In bet geheel zijn er dus aebt punten 

 waar drie dubbelkrommen door heen gaan, hetgeen (zooals in de volgende paragraaf 

 blijken zal) ook nog het geval is als de drie gegeven lijnen niet in één vlak liggen. 



Deze eigenschappen kunnen met voordeel benut worden om de rechten der doorsnede 

 alleen door constructie (dus zender de vergelijkingen dier rechten op te maken) te vin- 

 den. Daartoe trekt men de 6 lijnen op een afstand C evenwijdig aan de gegeven lijnen 

 en de <J binnen- en buitenbissectricen van den driehoek /, / 2 l 3 . De snijpunten dier 

 lijnen wijzen dan de 12 snijpuuten van het vlak V met de 6 dubbelellipsen aan. Deze 

 snijpunten behooren tot een (12)., (8) 3 configuratie, waarvan de 8 lijnen de gezochte 

 rechten der doorsnede zijn. 



