26 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



21. Nul ligging der singuliere krommen. 



Een dubbelkromme van bet oppervlak is daardoor gekenmerkt, 

 dat voor ieder liarer punten de som der met bepaalde teekens 

 genomen afstanden tot i der gegeven lijnen (i — 2, 3, . . ., n — 1) 

 nul is; we zeggen dan, dat die kromme nulligging ten opzichte 

 van die i gegeven lijnen vertoont, en stellen de kromme voor door 

 het symbool C (i). De vergelijkingen van een der («),- krommen 

 C{i) zijn: 



Is hierin t=l, dan krijgt men geen dubbelkromme, maar het 

 geheel der beide krommen van aanraking met twee toegevoegd 

 onbestaanbare singuliere raakvlakken , dus een volledige kromme van 

 aanraking. 



Voor %=n stellen de vergelijkingen weer een dubbelkromme 

 voor, ni. de dubbelkromme in het oneindige. 



Een kromme van het oppervlak, die nulligging ten opzichte van 

 i gegeven lijnen vertoont (i=l,2,. . .,n), noemen we een singuliere 

 kromme C{i). Een singuliere kromme C{1) is een volledige kromme 

 ran aanraking en van den graad 2" ; de overige singuliere krommen 

 zijn dubbe/krommen en van den graad 2"~ l , voor i = n in het on- 

 eindige, voor i<C.n in het eindige gelegen. Het aantal kromuien 

 C{i) bedraagt {u) r 



22. Rang van het oppervlak. 



Een willekeurig vlak V snijdt het oppervlak volgens een kromme 

 van den graad 2", die tot vergelijking heeft: 



|/*1 Sj ' -f- ]/* 2 s 2 ' -f- + ]/s n sj = C, 



waarin s, = en $/ = de vergelijkingen zijn der snijlijnen van 

 het vlak V met de beide door de gegeven lijn /, gaande isotrope 

 vlakken. Deze kromme wordt door ieder der 2n lijnen ^=0, 

 ^'=0, ó' 2 = 0, enz. in '2" _1 punten aangeraakt. Verder heeft 

 de kromme 2 n ~ x dubbelpunten in hel oneindige (snijpunten met de 

 dubbelkromme in het oneindige) en (2" — n — 2)2 n ~ x in het eindige 

 gelegen dubbelpunten (snijpunten met de in het eindige verloopende 

 dubbelkrommen). Hieruit volgt, dat de doorsnede van het oppervlak 

 met een willekeurig vlak een kromme van het geslacht (n — 2)2" ~ 1 -\- 1 

 en de klasse n2" is, waaruit blijkt, dat het oppervlak eau den 

 rang n2" is. 



