DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 27 



23. Doorsneden met vlakken door gegeven 1 ij n e n . 



Er kunnen zich bijzonderheden voordoen als het vlak V een 

 bijzonderen stand aanneemt. Gaat V door een der gegeven lijnen, 

 b.v. l x , dan vallen de lijnen s x = en .^' = in de lijn l { samen 

 en wordt de vergelijking der doorsnede 



V*2 S 2 + }/h h + + V*« *«' = 6 ' ± *1 » 



waaruit men onmiddellijk ziet, dat de doorsnede in twee krommen 

 van den graad 2 n_ ' ontaardt. 



De 2 2n_2 snijpunten dier krommen zijn gemakkelijk aan te 

 wijzen. Deze zijn: 1°. de 2" -1 op l x gelegen kegelpunten, 2°. de 

 2" _1 punten in het oneindige, 3°. de snijpunten van V met de 



{n—\\ -\-(n — 1) 2 + -f (« — 1), ! _ 2 =2' ( - 1 — 2 in het eindige 



gelegen dubbelkronnnen, die nulligging vertoonen ten opzichte van 

 gegeven lijnen, waaronder l x voorkomt. Te zamen geeft dit 



2" " ' -f- 2" - ' -f (2" " ' — 2) 2" ~ * = 2 2 " " 2 



snijpunten. 



Ieder der beide snijkrommen heeft dubbelpunteu in de snijpunten 

 met de dubbelkrommen, die nulligging hebben ten opzichte van 

 gegeven lijnen, waaronder t { niet voorkomt. Het vlak V snijdt 

 zulk een dubbelkromnie in 2" _1 punten, waarvan er 2" -J op de 

 eene, 2" -2 op de andere kromme liggen, waarin de doorsnede 

 van het oppervlak met V ontaardt. Ieder dier krommen is dus in 

 het bezit van 



\{n— 1>b+(« — 1)bH- + («— l)„_ i ;2"- 2 =2"- 2 (2"-'— n) 



dubbelpunteu, die alle in het eindige liggen. 



We vinden dus: 



De doorsnede eau lied oppervlak met een vlak door een gegeven 

 lijn degenereert in f/ree krommen van den graad 2"~\ Ieder dier 

 krommen heeft 2"~ 2 (2 n ~ l — n) dubbelpunteu en is dm van het 

 geslacht (» — 3)2 n ~ 2 -\- 1 en van de klasse {n — l)2 n ~\ 



Liggen i gegeven lijnen in één vlak, dan zal natuurlijk de door- 

 snede met dat vlak in 2' krommen van den graad 2"~' degene- 

 reeren. Voor i = n krijgt men het in n°. 19 beschouwde geval. 



24. Bijzonder geval C= 0. 



Is 6'=0, dan worden de voorgaande resultaten eenigszins anders. 

 liet oppervlak is dan van den graad 2" ~ ' zonder dubbel kromme in 

 het oneindige. Een singuliere kromme C(i) is nu tevens een kromme 

 C(n- — i), terwijl i=^=n geen zin heeft, evenmin als in het algemeene 



