32 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



krommen doorsnijden. Het singuliere punt is dus een imiplanair 

 punt van liet oppervlak. 



30. In het oneindige gelegen uniplanaire tweebla- 



dige d u bbelp un ten ; punten P 4 . 



Is q = 0, r = 1 , s = n — 1 , dus t = l ), dan gaat het voor- 

 gaande onveranderd door, alleen met dit verschil, dat nu de singu- 

 liere kromme C(s -\- 1) de dubbelkromme in het oneindige is 2 ) en 

 dus ook liet singuliere punt in het oneindige ligt; de in het voorgaande 

 voorkomende grootheid T is nu identisch nul. Be in het eindige 

 gelegen dubbelkromme C(n — 1), die op den omioentelingscy Under 

 R^ = C ligt, en de volledige kromme van aanraking zijn complementair^). 



31. Uniplanaire eenbladige dubbelpunten; punten P b . 



Is q = 0, r = s = l, dan zijn tioee der singuliere krommen vol- 

 ledige krommen van aanraking, de derde een op een hyperbolische 

 paraboloïde liggende dubbelkromme ó'(2) 4 ). De vergelijkingen der 

 singuliere krommen zijn: 



C(l): T+R l = C, ^=0, 



C(l): T-A r 8 1 =.C, 22 r =0, 



C(2): T =C, P 1 = /S 1 . 



Het onbestaanbare si?iguliere punt, dat op de snij lijn m van twee 

 door verschillende gegeven lijnen gaande isotrope vlakken ligt, is 

 enkelvoudig punt der drie singuliere krommen, terwijl de beide 

 krommen van aanraking de lijn m aanraken, de dubbelkromme de lijn 

 m snijdt. Daar de lijn m twee samenvallende punten met de 

 kromme van aanraking, die in haar geheel als doorsnede van het 

 oppervlak dubbel telt, gemeen heeft, zoo blijkt, dat een snijlijn m 

 mu twee niet-toegevoegd onbestaanbare singuliere raakvlakken het 

 oppervlak telkens in vier samenvallende punten snijdt 5 ). 



') Hiervoor behoeft slechts w>2 ondersteld te worden. 



') De dubbelkromme in het oneindige raakt in het singuliere punt aan de lijn in lut 

 oneindige van het singuliere raakvlak. 



J ) D. w. z. de eene singuliere kromme heeft nulligging ten opzichte van die gegeven 

 lijnen, die niet voorkomen in de groep van gegeven lijnen ten opzichte waarvan de 

 andere singuliere kromme nulligging vertoont. 



') Is w = 2, dus 2=0, dan is de dubbelkromme C(2) de in twee rechten gedegene- 

 reerde dubbelkromme in het oneindige. Overigens gelden de verkregen resultaten ook 

 voor dat geval. 



'"') Dit ziet men ook onmiddellijk daaruit, dat de snijpunten van m met het oppervlak 

 dezelfde zijn als die met het bij de n — 2 overige gegeven lijnen behoorende oppervlak 

 van den graad 2" . De 2" -2 snijpunten moeten dus alle 4-maal tellen om het aantal 

 2 n - op te leveren. 



