DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 33 



De doorsnede met een willekeurig vlak heeft in een snijpunt 

 met de dubbelkromme een dubbelpunt. Neemt men voor dat vlak een 

 der singuliere raakvlakken door m , dan vallen de beide takken 

 door het dubbelpunt en dus ook de dubbelpuntsraaklijnen samen 

 en wel langs m. Hieruit volgt, dat de dubbelkromme in het be- 

 schouwde singuliere punt een uniplanair punt heeft, waarvan de 

 beide samenvallende raakvlakken door m gaan. 



Het oppervlak heeft in liet singuliere punt slechts één blad, dat 

 aan de beide singuliere raakvlakken raakt en zich zei f doorsnijdt. 

 Het blad vertoont dezelfde singulaiïteit, die men bij een bestaan- 

 baar blad een klempuut (pichpoint) noemt, een punt waar de 

 dubbelkromme het oppervlak verlaat en geïsoleerd wordt x ). 



32. Singulariteiten der dubbelkromme in het oneindige. 



Uit het voorgaande zijn onmiddellijk een aantal bijzonderheden 

 der singuliere krommen af te leiden. Zoo volgt uit n°. 28 en 29: 



De dubbelkromme in het oneindige heeft de lijnen in liet onein- 

 dige der 2n singuliere raakvlakken (of de raaklijnen uit de punten 

 ■in het onei?idige der gegeven lijnen aan den bolcirkel getrokken) tot 

 2 n ~ 2 -voudige raaklijnen (ieder snijpunt niet zulk een raaklijn is een 

 raakpunt). De n2 n ~ i raakpunten zijn uniplanaire tweebladig e punten 

 van de dubbelkromme 2 ). 



Een punt in het oneindige van een in het eindige gelegen 

 dubbelkromme, wier complementaire kromme eveneens dubbelkromme 



') Afgezien van de onbestaanbaarheid vertoont liet blad dezelfde singulariteit als die 

 welke bet oppervlak 



X 1 — 2 y- ï + ;' = 



in den oorsprong vertoont. De dubbelkromme is bier de y-as, de singuliere raakvlakken, 

 die volgens parabolen aanraken, zijn de vlakken y — x = en y-\-x = 0. De door- 

 snede met het yz-vlak is de dubbele y-as en een aan de ;-as rakende parabool. De 

 doorsneden met vlakken loodrecht op de y-as zijn voor negatieve ;/ onbestaanbaar met 

 alleen een geïsoleerd punt in de y-as, voor positieve y 8-vormig. Deze 8 wordt kleiner 

 maar tevens gerekter als het snijvlak tot het .rz-vlak nadert; is het snijvlak het xz- 

 vlak, dan zijn beide dubbelpuntsraaklijnen in de ;-as samengevallen , terwijl de door- 

 snede zich tot een punt heeft samengetrokken. Opgemerkt zij nog, dat de doorsneden 

 met vlakken evenwijdig aan het cry-vlak parabolen zijn en dat de doorsneden met 

 vlakken evenwijdig aan de singuliere raakvlakken onbestaanbaar zijn, als ze de neg. 

 //-as snijden, en in twee elkaar alleen op de y-as snijdende parabolen degenereeren , als 

 de vlakken de pos. y-as snijden. 



') Dit geldt alleen voor n>2. Is n = 2, dan raakt de dubbelkromme in het onein- 

 dige de lijnen in het oneindige der vier singuliere raakvlakken niet aan. Doordat nu 

 echter de uit twee rechten bestaande dubbelkromme door de snijpunten van telkens twee 

 dier lijnen in het oneindige gaat, is het aantal uniplanaire punten der dubbelkromme 

 in overeenstemming met de formule gelijk aan vier; deze punten zijn evenwel éénbladig, 

 dus klempunten. 



Verband. Kon. Akad. v. Wetensch. (Eerste Sectie Dl. IX). E 3 



