34 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



is , (dus van een kromme C(i) , waarin 1 •< i ■< n — 1 is) is een 

 dubbelpunt van C{i), die dus 2" -2 punten in het oneindige heeft. 

 Deze punten zijn tevens dubbelpunten der dubbelkromme in het 

 oneindige. Daar de complementaire dubbelkromme dezelfde punten 

 in het oneindige oplevert, zoo vindt men voor het aantal dubbel- 

 punten der dubbelkromme in het oneindige: 



ÜH+H + .... + « n _ 2 i2*- 2 =2*- 2 (2 w -Wrc — 1), 



dus : 



De dubbelkromme in liet oneindige heeft 2"~ 2 (2 n ~ l — n — 1) 

 dubbelpunten en is derhalve van het geslacht {n — 2)2"~ 2 -\-l en 

 van de klasse n2 n ~ i 1 ). 



33. Singulariteiten der krommen van aanraking. 



Uit n°. 29, 30 en 31 volgt: 



De kromme van aanraking met een isotroop vlak door een gegeven 

 lijn heeft de 2(n — T) snijlijnen van dat vlak met de isotrope 

 vlakken door de andere gegeven lijnen tot 2 n ~ 2 -voudige raaklijnen 2 ). 



De snijpunten van het vlak V der kromme van aanraking met 

 een dubbelkromme, die nulligging vertoont ten opzichte van eenige 

 gegeven lijnen, waaronder de in V gelegen gegeven lijn niet voor- 

 komt, zijn dubbelpunten der kromme van aanraking. Daar de 

 dubbelkromme het vlak V in ieder snijpunt aanraakt, levert die 

 dubbelkromme 2"~ 2 dubbelpunten der kromme van aanraking. Het 

 totale aantal dier dubbelpunten bedraagt dus: 



{{n — l) 2 + (a— l) 8 + ....+(« — l), l _ 1 }2»- 2 = 2»- 2 (2"- 1 — »). 



Hiervan zijn er 2" -2 in het oneindige gelegen; deze worden 

 opgeleverd door voor de dubbelkromme de aan de kromme van 

 aanraking complementaire dubbelkromme te nemen. 



Ben kromme van aanraking heeft 2 n ~ 2 (2 ll ~ i — n) dubbelpunten, 

 waarvan er 2 n ~' 2 in het oneindige gelegen zijn. De kromme is dus 

 van het geslacht (n — 3)2 n ~ 2 -\- 1 en van de klasse (n — 1) 2 n ~ 1 3 ). 



34. Singulariteiten der dubbelkrommen in het eindige. 

 Uit n°. 28, 29, 30 en 31 volgt: 



*) Hier wordt n>2 ondersteld. Is n = 3, dan levert de formule naar beliooren voor 

 het aantal dubbelpunten nul op; voor n = 3 zijn er nog geen complementaire dubbel- 

 krommen. 



*) Dit geldt ook nog voor w = 2; alleen ligt dan het raakpunt voor ieder der beide 

 genoemde raaklijnen in het oneindige. 



3 ) Voor n = 2 levert de formule voor het totale aantal dubbelpunten en dus ook die 

 voor het geslacht en de klasse de juiste uitkomst. Alleen de formule voor het aantal 

 dubbelpunten in het oneindige wordt onjuist. 



