38 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



37. Verschillende soorten van singuliere puntgroepen. 



Puntgroepen, waardoor een volledige kromme van aanraking en 

 twee dubbelkrommen gaan, krijgt men voor q = 0, r = 1 en s > 1. 

 Het aantal dier puntgroepen bedraagt dus 



s = n — 1 . / s = n — 1 



waaronder ra puntgroepen, waarvoor een der dubbelkrommen de 

 dubbelkromme in het oneindige is. 



Het aantal puntgroepen, waardoor twee krommen van aanraking 

 gaan (q == , r = s = 1), bedraagt 



£*(» — 1); 



de derde singuliere kromme is een dubbelkromme, die voor ra > 2 

 in het eindige ligt. 



Voor het aantal puntgroepen, waardoor drie dubbelkrommen gaan, 

 blijft dus over 



|(2"— 1)(2"- 1 — 1) — ra(2"" 1 — ra) — \n{n — 1) = 



= |(2 2 »- 1 "-f l)-l(ra+l)(2«-ra). 



Hieronder zijn 



2"- 1 — ra— 1 



puntgroepen, waarvoor een der dubbelkrommen in het oneindige 

 ligt {q = t = 0) , zoodat er 



|(2^"- 1 + 1) — l(ra + 2)(2" — ra— 1) 



in het eindige gelegen puntgroepen, waardoor drie dubbelkrommen 

 gaan, overblijven. Zulk een puntgroep bestaat uit 2" punten, be- 

 halve als q=0 is, in welk geval de puntgroep uit 2"~ 2 punten 

 bestaat; voor het aantal groepen van 2"~ 2 punten vindt men 



1(3" -f 3) — J (ra -f- 3) (2» — ra), 



zoodat er voor het aantal groepen van 2" punten overblijft: 



i(2 2 "— 1) — 1(3» — 2"). 



Het resultaat is dus: 



De uit 2 n punten bestaande singuliere puntgroepen zijn: 

 i (£ 2 n — 1) — 1 (5" — 2 n ) in het eindige gelegen puntgroepen , 

 waardoor drie dubbelkrommen gaan (q ^> 0) l ) 2 ) ; 



*) Als steeds is q-^r^s ondersteld. 



2 ) Voor n = 2 levert dit naar behooren nul. 



