DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 39 



^n(n — 1) in het eindige gelegen puntgroepen, waardoor twee vol- 

 ledige krommen van aanraking en een dubbelkromme gaan (q = O , 



De uit 2"~ x punten beslaande singuliere puntgroepen zijn: 

 n(2"~ [ - — n — 1) in hel eindige gelegen puntgroepen, waardoor 

 een volledige kromme van aanraking en twee dubbelkroiumeu gaan 

 {q = 0, r = l, l<s<n — l) 2 ); 



n in het oneindige gelegen puntgroepen, waardoor (behalve de 

 dubbelkromme in het oneindige) een volledige kromme van aanraking 

 en een in het eindige gelegen dubbelkromme gaan (q ■■=■ O , r = l , 

 s = n — 1) 3 ). 



De uit 2 n ~ 2 punten bestaande singuliere puntgroepen zijn: 

 f (3" -f- 3) — l (n -f- 3) (2 n — n) in het eindige gelegen puntgroepen, 

 waardoor drie dubbelkr ommen gaan (q= O, r > 1 , s <C » — r) 4 ) ; 



2" ~ 1 — n — 1 in het oneindige gelegen puntgroepen , waardoor 

 {behalve de dubbelkromme in het oneindige) twee in het eindige ge- 

 legen dubbelkrommen gaan (q = O , r ^> 1 , s = n — r) 2 ). 



38. Aantallen punten Pj , P 2 , P 3 , P 4 en P 5 . 



Uit het voorgaande volgt : 



Het oppervlak heeft de volgende snijpunten van drie singuliere 

 krommen: 



2 n - 3 \±(2 2n — l)— 3 n + * — (n — T) 2 n -f n 2 -f- 3 n -f 3\ in het 

 eindige buiten de singuliere raakvlakken gelegen drievoudige punten 

 1\ (zie n°. 27); 



2 n ~ 2 (2 n ~ l — n — 1) in het oneindige buiten de singuliere raak- 

 vlakken gelegen viervoudige punten P 2 (zie n°. 28); 



n2 n ~ i (2 n ~ i — n — 1) in slechts één singulier raakvlak in het 

 eindige gelegen uniplanaire tweebladige dubbelpunlen P 3 (zie n°. 29); 



n2 n ~ l op de lijnen in het oneindige der singuliere raakvlakken 

 gelegen uniplanaire tweebladige dubbelpunlen P 4 (zie n°. 30); 



n(n — l)2 n ~ x op de snij lijnen van niet-toeg e voegde singuliere raak- 

 vlakken gelegen uniplanaire eenbladige dubbelpunlen P 5 (zie n°. 31)°); 



dustezawen2 n - 3 {±{2' 2n —l) — 3' l + l -\ r (n-\-2)2 ll -i r n 2 —3n J r l} 

 snijpunten P van drie singuliere krommen. 



Hierin is n > 2 ondersteld. 



l ) Voor n = 2 ligt de puntgroep in liet oneindige. 



s ) Voor n = 3 levert dit naar behooren nul. 



') Hiervoor moet n>2 zijn. 



*) Voor n = 3 of w=4 levert dit naar behooren nul. 



5 ) Op ieder der 2n(n — 1) snijlijnen van door verschillende gegeven lijnen gaande 

 isotrope vlakken liggen 2" ~ ' punten P 4 ; in ieder singulier raakvlak liggen (n — 1) 

 ■2" ~ 1 punten P„. 



