40 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



39. Aantallen punten P gelegen op de singuliere krommen. 



We willen nu nagaan hoeveel der 5 soorten van punten P op 

 een singuliere kromme C(i) gelegen zijn. Het totale aantal op 

 C(i) gelegen singuliere pimtgroepen bedraagt 2 n ~ x — 1. Immers er 

 zijn 2" — 1 singuliere krommen; nu wordt C(i) door ieder der 

 2" — 2 andere singuliere krommen volgens een singuliere pnntgroep 

 gesneden, waarbij echter telkens twee singuliere krommen dezelfde 

 pnntgroep opleveren. Gaat men nu verder na hoe deze pimtgroepen 

 over de verschillende soorten van singuliere punten verdeeld zijn , 

 dan komt men tot het volgende resultaat: 



Op een dubbel kromme C(i) liggen als 2<^i<^n — 1 is: 



2" (2 n ~ i — 2 n ~ i — 2 l _1 -f- 1) -f- 2" ~ '- (2' " J -f 2 n ~ ' — n — 3) = 

 = 2" ~ 2 (2 n +i — 3. 2 n ~ l -r 3. 2 l ~ 1 — n -f 1) punten P 1 , 



2" ~ 2 punten P 2 , 



n2' l ~ i punten P 3 en 



geen punten P 4 en P h , 



'dus te zamen 2" ~ 2 (2" + '—3. 2 H ~ ; — 3. 2' ~ i -j- n -f- 2) punten P. 

 Op een dubbel kromme C{2) liggen als n > 3 is: 



2'\2' 1 - - — Z) + 2 ll - 2 (2 11 - 2 — n) = 2 ll -"(5.2 n --—n— 4) punten P x , 



2 n ~ 2 punten P 2 , 



(n — 2)2 n ~ i punten 1\, 



2 n punten P b en 



geen punten P 4 , 



dus te zamen 2 H ~ 2 {5. 2 n ~ 2 -|- n — 3) punten P. 



Op een dubbelkromme C(u — 1) liggen als n^>3 is: 



2 n -'\5.2 ll - 2 — n — 4) punten P x , 



(n — l)2 n - i punten P 3 , 



2 n ~ i punten P 4 en 



geen punten P 2 en P 5 , 



dus te zamen 2" ~ 2 (-5. 2" ~ 2 -\-n — 4) punten P. 

 Op de dubbelkromme in het oneindige liggen: 



2n _ 2 ^n -1 _ n _ q punten P 2 , 



n2 n ~ i punten P 4 en 



geen punten P x , P 3 en P 5 , 



dus te zamen 2 n ~ 2 (2 n ~ 1 -f- n — T) punten P. 



Op een afzonderlijke kromme van aanraking liggen: 

 2 n ~ 2 (2" - i — n — 1) punten P s , 

 2" ~ 2 punten P 4 , 

 (n — l)2 H ~ i punten P b en 

 geen punten P 1 en P 2 , 

 dus te zamen 2 n ~ 2 (2 n ~ * -j- » — 2) punten P. 



